funcion cuadrática

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Matemática

FUNCIONES CUADRATICAS
Llamamos funciones cuadráticas a aquellas cuya expresión es
2

f(x) = ax + bx + c
donde a, b y c son números reales y a
0.
Las funciones cuadráticas son funciones continuas y tienen como dominio al conjunto de
los números reales.
Son funciones cuadráticas por ejemplo:
2

2

f(x) = x + 2

f(x) = (x – 5) -

1

2

f(x) =-x + 5

2

Las gráficas de las funciones cuadráticas
son parábolas.

.

f(x) = ax

2

Funciones cuadráticas de fórmula f(x) = ax

2

2

2

Si en la expresión f(x) = ax + bx + c, con a hacemos b = c = 0, resulta, f(x) = ax .
0.,


Su dominio es el conjunto de los números reales: Dom(f )=.



La representación gráfica de esta función es una parábola de ecuación
y =ax

2

Vamos a representar el caso en que a = 1.
2

La expresión f(x) = x relaciona cada número real con su cuadrado.
Para hacer una tabla de valores, podemos elegir valores de x simétricos con
respecto al origen de coordenadas.
Por ejemplo:
2

2

-3

-2

-1

0

1

2

3

9

4

1

0

1

4

9

(-2) = 2
Lo hacemos:
x
2
f(x) = x
Luego:

UBA XXI –MÁTEMATICA - Función cuadrática

1

UBA XXI

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Representamos los puntos

Y obtenemos la gráfica

2

Observando la gráfica, podemos dar una descripción de la función f(x) = x


El conjunto de imágenes es Im(f) =  = [0; +
)
0



C0 = {0}



La función es siempre positiva. C = 



Decrece en el intervalo (- 0) y crece en el intervalo (0;+
;
).



En x = 0 la función alcanza su valor mínimo

+

Y una descripción de la parábola:


El gráfico es simétrico respecto al eje “y”. Se dice que el eje “y” es el eje
de simetría de la parábola y su ecuación es x = 0.



El punto (0;0) es el vértice de la parábola.



El gráfico de y = x tiene un mínimo en el vértice.



La abscisa del vértice pertenece al ejede simetría.

2

2

Las características que describimos para la gráfica de la función f(x) = x son también las de
2
la familia de funciones cuadráticas de la forma f(x) = a x , con a
0.
1 2
f ( x)  x
4

f ( x) x2

f( x ) 2x

1 2
f(x)  x
2

2

• En todos los casos el vértice de la
parábola es el punto V = (0; 0)
En algunos casos la ordenada del
vértice es un valormínimo y en
otros, máximo.
• El eje de simetría es x = 0.
• Si a < 0, la parábola tiene las
ramas abiertas hacia abajo.
• Si a > 0, la parábola tiene las ramas
abiertas hacia arriba.

f ( x) 
-

1 2
x
4

f (x )  x
-

UBA XXI – MÁTEMATICA - Función cuadrática

2

f ( x)  - 2x

2

1
f( x)  x 2

2

2

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Muchos fenómenos sedescriben
cuadráticas. Vean este video.

con

funciones

Desarrollamos un ejemplo.
Ejemplo 1
Un móvil se desplaza durante 5 segundos recorriendo una distancia que responde a la
2
siguiente fórmula e = 3 t , donde e es la distancia (en metros) y t es el tiempo (en
segundos) empleado en recorrerla.
a) Dar el dominio de la función y el conjunto de imágenes.
b) Representar la distanciarecorrida en función del tiempo.
c) ¿Qué distancia recorrió el móvil entre el tercer y el cuarto segundo?
d) ¿Cuánto tiempo demora en recorrer 27 metros?
Resolvemos:
2

Observemos que el espacio está en función del tiempo. Podemos escribir e(t) = 3t .
a) El dominio de la función es el intervalo [0; 5] ya que el móvil se desplaza sólo por 5
segundos y a los 0 segundos está detenido.
Parahallar el conjunto de imágenes hagamos 0 t 5
0 t 5
2

Elevando al cuadrado es:

2

2

0 t 25
2

3.0 3. t 3.25
2

Multiplicando miembro a miembro por 3
Luego

0 3. t 75

O bien

0 e(t) 75

2

Entonces e(t) pertenece al intervalo [0; 75], con lo que el conjunto de imágenes es
Im(e)= [0; 75]
.
b) Y la gráfica de la función es una rama
de parábola como lo...