funcion cuadratica

FUNCION CUADRATICA

Son las funciones de la forma: f(x)= a .x 2+ b. x + c. Dom f: 
Su gráfico es una curva llamada parábola.
a se llama término cuadrático, b término lineal y c término independiente




Signo y valor absoluto de a















Desplazamiento de f(x)= ax 2

Si trasladas el gráfico de f(x)= x2 p unidad hacia la derecha, y k unidades hacia arribaobtienes el gráfico de la función:    g (x)=a (x - p)2  + k, siendo su vértice el punto: V = (p; k)

Ejemplo: La siguiente gráfica corresponde al desplazamiento de la función f(x)= x2, 4.58 unidades hacia la derecha y 3.92 unidades hacia arriba, su fórmula es f(x)= (x – 4.58)2 + 3.92








Raíces o ceros de la función:
Son las abscisas de los puntos de intersección de la parábola conel eje x. Para hallarlas, si es que existen, en la fórmula de la función se reemplaza la variable y por 0 y se resuelve la ecuación.

Ecuaciones cuadráticas:
Todas pueden resolverse aplicando la fórmula (primero se reducen a la forma a .x 2+ b. x + c = 0 realizando todas las operaciones posibles):

Si la ecuación no tienetérmino lineal (b = 0), se despeja directamente la incógnita.

Si la ecuación no tiene término independiente (c = 0), se extrae factor común x. En este caso, x =0 es siempre una de las soluciones. La otra se obtiene igualando a 0 el otro factor.

Construcción del gráfico


Se calcula
Se marca en el gráfico
Se aplica la fórmula resolvente y se obtienen las raíces x1 y x2
Si las raíces sonreales se marcan los puntos de contacto con el eje x en x1 y x2
Coordenadas del vértice :
xv = (x1 + x2 ) /2
o

xv = -b /2a

yx = f(xv ) - Se reemplaza en la función x por xv -

Vértice : V ( xv ; yv)



Eje de simetría: recta vertical que pasa por xv (se marca con línea punteada).

Ordenada alorigen : (0 ; c)

Punto de contacto con el eje y. Se aprovecha el eje de simetría para obtener puntos simétricos.

Análisis Completo
Conjunto Imagen
En general: Si a > 0   el conjunto imagen de f(x) es [xv; +∞).
Si a < 0 el conjunto imagen de f(x) es (-∞; xv].
 
Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento
Las funciones cuadráticas presentan un tramo en el que son crecientesy otro en el que son decrecientes.
Si a>0, la función f(x) es creciente en el intervalo ( xv ;+ ∞) , y decreciente en el intervalo (-∞;xv).
Si a0.
Los intervalos de negatividad (c-) de una función f(x) son los intervalos de x en los cuales la función es negativa, es decir, donde f(x)0 la ordenada del vértice ( yv) es el valor  mínimo que alcanza la función, lo toma en xv. 
Si a< 0 laordenada del vértice ( yv) es el valor  máximo que alcanza la función, lo toma en xv.
Se lo llama extremo.
Ejemplo: Dada la función f(x)= x2 +x - 3.75





















Discriminante - Tipo de soluciones:


 = b 2 - 4 a c

















Expresiones de la función cuadrática:



Forma
Expresión
Parámetros
Polinómica
f(x) = ax2 + bx +c
a, b, c
Canónica
f(x) = a ( x - xv ) 2 + y v
a, xv, yv
Factorizada
f(x) = a ( x - x1 ). ( x - x2)
a, x1, x2


Problemas de máximos y mínimos:
Si a > 0 la función alcanza un mínimo en la ordenada del vértice de su gráfica, es decir en x = xv la función alcanza su valor mínimo yv.

Si a < 0 la función alcanza un máximo en la ordenada del vértice de su gráfica, esdecir en x = xv la función alcanza su valor máximo yv.

Propiedad de las raíces
Son las relaciones que existen entre las raíces x1 y x2 de una función cuadrática y los coeficientes a, b, y c de su fórmula polinómica.
x1 + x2 = - b x1 . x2 = c_
a a

Esta propiedad es muy útil para hallar la fórmula de la función cuadrática...