funcion vectorial

´
Optica y Optometr´
ıa
Res´ menes
u
Curso 2006-2007

UNIVERSIDAD DE MURCIA
Departamento de Matem´ticas
a

Funciones vectoriales.
En este resumen escribiremos todo en el espacio eucl´ıdeo tridimensional R3 .
Una funci´n vectorial es una funci´n que transforma un n´mero real en un vector:
o
o
u
F : R −→ R3 ,

definida como F (t) = (x(t), y(t), z(t)),

donde x(t), y(t) y z(t)son funciones reales de variable real.
As´ se dice que F es continua, derivable o integrable, si lo son x, y y z; esto es:
ı,
b

F ′ (t) = (x′ (t), y ′ (t), z ′ (t))

y

b

F (t)dt =
a

bx(t)dt,
a

b

y(t)dt,
a

z(t)dt
a

Algunas reglas de derivaci´n de estas funciones relacionadas con las operaciones entre vectores son las siguientes
o
(suponemos que F y G son dosfunciones vectoriales, u es una funci´n real y λ ∈ R):
o
1. (F (t) + G(t))′ = F ′ (t) + G′ (t).
2. (λF (t))′ = λF ′ (t).
3. (u(t)F (t))′ = u′ (t)F (t) + u(t)F ′ (t).
4. (F (t) · G(t))′ = F (t) · G′(t) + F ′ (t) · G(t).
5. (F (t) × G(t))′ = F (t) × G′ (t) + F ′ (t) × G(t).
6. (F ◦ u)′ (t) = (F (u(t)))′ = F ′ (u(t))u′ (t).
Cuando una funci´n vectorial es diferenciable, se puede identificar conuna curva diferenciable. Al vector F (t)
o
se le llama vector de posici´n de la curva y, si F ′ (t) = 0, el vector F ′ (t) es el vector tangente a la curva en el
o
punto F (t); a dicho vector sele llama tambi´n vector velocidad y la velocidad en el instante t es F ′ (t) .
e
De modo similar F ′′ (t) es el vector aceleraci´n y F ′′ (t) es la aceleraci´n.
o
o
F ′ (t)
.
Se llama vectortangente unitario T al vector T (t) =
F ′ (t)
Longitud de un arco de curva en R3 .
La longitud de un arco de curva en R3 , entre dos puntos F (a) y F (b) viene dada por la f´rmula
o
b

(x′ (t))2+ (y ′ (t))2 + (z ′ (t))2 dt

L(F, a, b) =
a

Curvatura.
Dada una curva F (t) definida en un intervalo a ≤ t ≤ b, se define el par´metro longitud de arco s(t) como
a
la longitud del arco de...