Funcional

IV. LOS CUATRO ´ PILARES DEL ANALISIS FUNCIONAL

El sugestivo t´ ıtulo que proponemos para este cap´ ıtulo, y utilizado por varios autores, quiere indicar que toda la estructura del An´lisis Funcional est´ basada en cuatro poderosos pilares: a a los teoremas de Hahn-Banach, de Banach-Steinhaus, de la aplicaci´n abierta y del gr´fico cerrado. Tanto en este cap´ o a ıtulo como en los siguientes seofrece una amplia gama de aplicaciones y consecuencias que han permitido un desarrollo significativo en la teor´ que nos ocupa. ıa

SECCIONES 1. Teorema de Hahn-Banach. 2. Consecuencias del teorema de Hahn-Banach. Espacio doble dual. 3. Teorema de categor´ de Baire. ıa 4. Principio de acotaci´n uniforme y teorema de Banach-Steinhaus. o 5. Convergencia de sucesiones en espacios normados. 6.Teorema de la aplicaci´n abierta. o 7. Teorema del gr´fico cerrado. a 8. Clausura de un operador. 9. Ejercicios.

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1. TEOREMA DE HAHN-BANACH.

El teorema de Hahn-Banach es un teorema de extensi´n de funcionales lio neales (entendemos por un teorema de extensi´n aquel en donde, definido un o objeto matem´tico sobre un subconjunto Y ⊂ X, se quiere definir dicho oba jeto sobre todo el conjunto Xde manera que se mantengan las propiedades b´sicas del objeto en el conjunto donde se extendi´). a o En An´lisis son frecuentes los casos en que un funcional lineal es dominado a por un funcional sublineal convexo. Por ejemplo, la integral de Riemann de 1 una funci´n x = x(t) es un funcional lineal f (x) = 0 x(t)dt; en cambio, la o integral superior p(x) es sub-lineal y se tiene que f (x) ≤ p(x).Queremos extender tambi´n aqu´ un funcional lineal que verifique una propiedad de e ı acotaci´n similar. Por el teorema de representaci´n de Riesz, sabemos que o o todo funcional lineal en un espacio de Hilbert es un producto escalar. Queremos saber ahora bajo qu´ condiciones existen funcionales lineales acotados e en un espacio de Banach arbitrario y la respuesta a esto la da el teorema deHahn-Banach. Se probar´ primero el caso donde el espacio normado es real (resultado debia do a Hahn en 1927 y Banach en 1929) y luego veremos c´mo ciertas modificao ciones permiten demostrar el caso complejo (que fue hecho por Bohnenblust y Sobczyk en 1938). 1.1.- Definici´n. Sean X un espacio vectorial sobre E y p : X → R un o funcional. Diremos que (1) p es sub-aditiva cuando p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y∈ X; (2) p es homog´nea positiva cuando p(αx) = αp(x), ∀x ∈ X, α ≥ 0; e (3) p es sim´trica cuando p(αx) = |α|p(x), ∀x ∈ X, α ∈ E; e (4) p es convexa cuando p(αx + (1 − α)y) ≤ αp(x) + (1 − α)p(y), ∀x, y ∈ X, α ∈ [0, 1]. As´ diremos que p es funcional sublineal si es sub-aditiva y homog´nea poı e sitiva y p es seminorma si es sub-aditiva y sim´trica. e En particular, la norma es un funcionalsublineal e incluso una seminorma. Una primera relaci´n entre dichos conceptos viene dada en el siguiente reo sultado, cuya demostraci´n omitimos. o 1.2.- Lema. Un funcional p : X → E en un espacio vectorial es una seminorma si y s´lo si es una aplicaci´n sim´trica y convexa. o o e 154

1.3.- Lema. Sea X un espacio vectorial real, M un subespacio propio de X, x0 ∈ X \ M . Sea N = M ∪ {x0 } , f : M →R un funcional lineal, p : X → R un funcional sub-lineal tal que f (x) ≤ p(x), ∀x ∈ M. Entonces existe F : N → R funcional lineal tal que F (x) ≤ p(x), ∀x ∈ N , y f (x) = F (x), ∀x ∈ M (F es entonces una extensi´n de f ). o Demostraci´n. Si y1 , y2 ∈ M, entonces o f (y1 )−f (y2 ) = f (y1 −y2 ) ≤ p(y1 −y2 ) = p(y1 +x0 −x0 −y2 ) ≤ p(y1 +x0 )+p(−y2 −x0 ), de donde −p(−y2 − x0 ) − f (y2 ) ≤ p(y1 + x0) − f (y1 ). Como el primer miembro no depende de y1 y el segundo no depende de y2 , entonces, llamando a = sup{−p(−y2 − x0 ) − f (y2 ) : y2 ∈ M }, b = ´ ınf{p(y1 + x0 ) − f (y1 ) : y1 ∈ M }, es claro que a ≤ b. Llamamos c ∈ R a un n´mero que verifica a ≤ c ≤ b. Por tanto, ∀y ∈ u M, (∗) −p(−y − x0 ) − f (y) ≤ c ≤ p(y + x0 ) − f (y).

Definimos F : N → R como F (y + αx0 ) = f (y) + αc, con y ∈ M,...