Funciones Circulares

Funciones circulares y sus inversas

Las funciones trigonométricas circulares.
Las funciones trigonométricas básicas son el seno y el coseno. El resto de las funciones trigonométricas se obtiene a partir de ellas. Comenzamos con una definición informal. Para ello necesitamos el concepto de ángulo dirigido. Un ángulo dirigido puede ser considerado como un par de semirrectas (l1,l2) con el mismopunto inicial.

Si para l1 elegimos siempre la mitad positiva del eje horizontal, un ángulo dirigido vendrá descrito mediante la segunda semirrecta. Puesto que cada semirrecta corta al círculo unidad exactamente una vez, un ángulo dirigido queda descrito, aún más sencillamente, mediante un punto sobre el círculo unidad, es decir un punto (x,y) tal que x2+y2=1.

Entonces el seno del ángulo sedefine como la ordenada y del punto que lo representa y el coseno como la abcisa x, según se representa en la figura siguiente:

Sin embargo queremos definir el seno y el coseno de cualquier número real x . El procedimiento usual es asociar un ángulo a cada número. Esta asociación se lleva a cabo del modo siguiente: dado un número real cualquiera x, elíjase un punto P sobre el círculo unidadtal que x sea la longitud del arco de círculo que empieza en (1,0) y que se dirige hacia P en sentido contrario al de las agujas de un reloj.

El ángulo así construido determinado por P se denomina ángulo de x radianes. Al ser 2π la longitud total del círculo, el ángulo de x radianes y el ángulo de 2π +x radianes son idénticos. Se puede definir ahora el seno de xcomo el seno del ángulo de xradianes.
La definición anterior depende del concepto de longitud de una curva. Para evitar esto, formularemos de nuevo la definición en términos de áreas (que puede ser tratadas mediante la integral). Supongamos ahora que x es la longitud del arco del círculo unidad desde (1,0) hasta P; este arco contiene así x/2π de la longitud total (2π ) de la circunferencia del círculo unidad. Designemos por S elsector del círculo determinado por el ángulo definido por P (ver la figura).

El área de este sector ha de ser x/2π veces el área del círculo unidad, la cual damos por supuesto que es π . Entonces el área de S es (x/2π )π =x/2. Podemos definir ahora el coseno de x y el seno de x, que denotaremos por cos x y sen x, respectivamente, como las coordenadas del punto P que determina un sector de áreax/2 en el círculo unidad. Para la definición rigurosa comenzamos con la definición de π como dos veces el área del semicírculo unidad:

Definición.Definamos ahora A(x) para -1 ≤ x ≤ 1 como el área del sector limitado por el círculo unidad, el eje horizontal y la semirrecta que pasa por el origen y el punto (x,(1-x2)1/2) sobre el círculo unidad . Definición.- Si -1 ≤ x ≤ 1, entonces

Obsérveseque A(x) es derivable en -1 ≤ x ≤ 1 y su derivada es

Para 0 ≤ x ≤π queremos definir cos x y sen x como las coordenadas de un punto P, (cos x, sen x), sobre el círculo unidad que determina un sector cuya área es x/2. En otros términos: Definición.- Si0 ≤ x ≤π, entonces cos x es el único número en [-1, 1] tal que

y

Para saber que existe un número y que satisface A(y)=x/2, utilizamos elhecho de que A es continua y toma los valores 0 y π /2 (teorema de los valores intermedios).

Esta definición se extiende primero al intervalo [-π , 0 ) de la forma siguiente:

Por último, la definición de las funciones seno y coseno se extiende a toda la recta real de forma periódica. Las figuras siguientes muestran esta extensión.

Teorema.- Las funciones seno y coseno son continuas en IR yadmiten derivada en todo punto verificándose que

Además, son funciones acotadas puesto que verifican las siguientes igualdades:

Definición.- El resto de las funciones trigonométricas se definen como sigue:

Véanse las gráficas de estas funciones en las figuras siguientes

Propiedades de las funciones trigonométricas. • cos2 x + sen2 x =1, • cos(x+y)=cos x cos y − sen x sen y, cos 2x=...