funciones complejas

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De:
alex forero (forerolife87@hotmail.com)
Enviado:
lunes, 11 de noviembre de 2013 02:48:34 p.m.
Para:
alex forero (forerolife87@hotmail.com)
Función compuesta


g ∘ f, es la aplicación resultante de la aplicación sucesiva de f y de g. En el ejemplo, (g ∘ f)(a)=@.
En álgebra abstracta, una función compuesta es una función formada por la composición oaplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.
Usando la notación matemática, la función compuesta g ∘ f: X → Z expresa que (g ∘ f)(x) = g(f(x)) para todo x perteneciente X.
A g ∘ f se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra no siguiendo elorden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.
Índice
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1 Definición
2 Propiedades
3 Ejemplo
4 Función bien definida
5 Enlaces externos
Definición[editar · editar código]
De manera formal, dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición (g ∘ f ): X → Z como (g ∘f)(x)= g (f(x)), para todos los elementos de X.

También se puede representar de manera gráfica usando la categoría de conjuntos, mediante un diagrama conmutativo:
Propiedades[editar · editar código]
La composición de funciones es asociativa, es decir:


La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir:


Por ejemplo, dadas las funciones numéricas f(x)=x+1 y g(x)=x²,entonces f(g(x))=x²+1, en tanto que g(f(x))=(x+1)².
La inversa de la composición de dos funciones es:


Ejemplo[editar · editar código]
Sean las funciones:


La función compuesta de g y de f que expresamos:

La interpretación de (f ∘ g) aplicada a la variable x significa que primero tenemos que aplicar g a x, con lo que obtendríamos un valor de paso

y después aplicamos f a z para obtenerFunción bien definida[editar · editar código]
La función compuesta está bien definida porque cumple con las dos condiciones de existencia y unicidad, propias de toda función:dxf
1. Condición de existencia: dado x, conocemos (x, f(x)), puesto que conocemos la función f, y dado cualquier elemento y de B conocemos también (y, g(y)), puesto que conocemos la función g. Por tanto, (x, g( f(x)) ) estádefinido para todo x, y así (g ∘ f) cumple la condición de existencia.
2. Condición de unicidad: como f y g son funciones bien definidas, para cada x el valor de f(x) es único, y para cada f(x) también lo es el de g( f(x)).
Enlaces externos[editar · editar código]
Composición de funciones (ampliación).
Weisstein, Eric W. «Composition» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
"Composition ofFunctions" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.
Composition en PlanetMath








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Las funciones compuestas
   
En esta sección retomaremos el tema. Si haces unpoco de memoria te acordarás que una función compuesta es aquella que depende de otra: , es decir, la función f depende de la función g.
 
 
 
Obtengamos una función compuesta  si  y .
 
 
 
Como dijimos, la composición  implica sustituir la función g en la regla de correspondencia de f, es decir, , por tanto, en  sustituiremos todas las x por la expresión . El resultado es el siguiente:
  
 

 
 
 
Observa que la función g quedó “anidada” dentro de la función f. También podríamos decir que f sería la parte “externa” de la función y g sería la parte interna.
 
 
 
Si ahora queremos determinar la función compuesta , lo que hacemos es trabajar con , sustituyendo el valor de x por :
 
 
 

 
 
 
Ahora hagamos el proceso inverso: Si te damos una función compuesta,...