Funciones Elementales En Variable Compleja, Limite Y Continuidad. Números Complejos

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
INSTITUTO PEDAGÓGICO RURAL “EL MÁCARO”
CENTRO DE ATENCIÓN VALLE DE LA PASCUA



VARIABLES Y FUNCIONES ELEMENTALES DE NUMEROS COMPLEJOS, LÍMITES Y CONTINUIDAD
DE NUMEROS COMPLEJOS

Preparador: Ramos, WilderAgosto de 2011.
VARIABLES Y FUNCIONES ELEMENTALES

Variables

Un símbolo, tal como z representa a cualquier elemento de un conjunto de números complejos llamado variable compleja.
Si a cada valor que puede tomar la variable compleja z le corresponde uno o más valores de una variable compleja w, decimos que w es una función de z y escribimos w = f(z) o w = G(z). La variable z esllamada la variable independiente, mientras que w es llamada la variable dependiente. El valor de una función en z = a se escribe f(a). Luego si f(z) = z2, entonces f(2i)2 = - 4.

Funciones univoca y multívocas

Si a cada valor de z corresponde sólo un valor de w, decimos que w es una función unívoca de z o que f(z) es unívoca. Si más de un valor de w corresponde a cada valor de z, decimos quew es una función multívoca o multiforme de z.
Una función multivaluada puede considerarse como una colección de funciones unívocas; cada miembro de esta colección será llamado una rama de la función. Se acostumbra considerar un miembro particular como una rama principal de la función multívoca y el valor de la función correspondiente a esta rama como el valor principal.
Ejemplos:
1.Si w = z2, entonces para cada valor de z existe sólo un valor de w. Por esto w = f(z) = z2 es una función unívoca de z.
2. Si w = z1/2, entonces para cada valor de z existen dos valores de w. De donde w = f(z) = = z1/2 es una función multivaluada de z.

Funciones Elementales de una variable compleja

1. Función Exponencial.
La función exponencial, es conocida formalmente como lafunción real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828. Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho másgenerales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma: siendo números reales, . Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

Propiedades de Función Exponencial
La función exponencial (exponenciales en base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales:* Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)
*
*
*
*
* Su límite en - ∞ es 0, y en + ∞ es + ∞

Definición de Función Exponencial para números complejos.
La función exponencial puede ser definida como una función holomorfa en el plano complejo de diferentes maneras.Algunas de ellas son simples extensiones de las fórmulas que se utilizan para definirla en el dominio de los números reales. Específicamente, la forma más usual de definirla para el dominio de los números complejos es mediante la serie de potencias, donde el valor real x se sustituye por la variable compleja z:

para valores imaginarios puros se cumple la identidad ,
en el que un caso particular esla identidad de Euler, usando la identidad anterior, donde ahora z = x + yi, con x e y números reales, se obtiene una definición equivalente a la primera:
………………….[1]
Relación que demuestra que esta función, además de ser holomorfa, es periódica, con un periodo para la parte imaginaria de 2πi.
Si una función f de una variable compleja z = x + iy se ha de reducir a la función exponencial...