funciones compuestas

Función compuesta
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g ∘ f, es la aplicación resultante de la aplicación sucesiva de f y de g. En el ejemplo, (g ∘ f)(a)=@.
En álgebra abstracta, una funcióncompuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculoanterior se le aplica finalmente la función restante.
Usando la notación matemática, la función compuesta g ∘ f: X → Z expresa que (g ∘ f)(x) = g(f(x)) para todo x perteneciente X.
A g ∘ f se lellama composición de f y g. Nótese que se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.
Índice
1 Definición
2 Propiedades
3 Ejemplo
4 Funciónbien definida
5 Enlaces externos
Definición
De manera formal, dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la funcióncomposición (g ∘ f ): X → Z como (g ∘ f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos de X.

También se puede representar de manera gráfica usando la categoría de conjuntos, mediante un diagrama conmutativo:

Propiedades
Lacomposición de funciones es asociativa, es decir:

La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir:

Por ejemplo, dadas las funciones numéricas f(x)=x+1 y g(x)=x²,entonces f(g(x))=x²+1, en tanto que g(f(x))=(x+1)².
La composición de una función y su reciproco es:

Por ejemplo dadas las funciones: f(x)=2x+3 y su reciproco f^{-1}(x) = (x-3)/2 tenemos

donde tenemos que x=id(x)
Ejemplo
Sean las funciones:


La función compuesta de g y de f que expresamos:

La interpretación de (f ∘ g) aplicada a la variable x significa que primero tenemos que aplicar g a x, conlo que obtendríamos un valor de paso

y después aplicamos f a z para obtener

Función bien definida
La función compuesta está bien definida porque cumple con las dos condiciones de...