Funciones cuadraticas


Función cuadrática
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
f(x) = ax² + bx + c
Representación gráfica de la parábola
Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:
1. Vértice

Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.
La ecuación del eje de simetría es:

2. Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenadaes cero, por lo que tendremos:
ax² + bx + c = 0
Resolviendo la ecuación podemos obtener:
Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0
Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0
Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0
3. Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:
f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c        (0,c)
 
EjemploRepresentar la función f(x) = x² − 4x + 3.
1. Vértice
xv = − (−4) / 2 = 2     yv= 2² − 4· 2 + 3 = −1       
 V(2, −1)
2. Puntos de corte con el eje OX
x² − 4x + 3 = 0
       
(3, 0)      (1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY
(0, 3)


EJERCICIOS
I. De las siguientes parábolas halla el:
a) vértice
b) la ecuación del eje de simetría
c) Intersección con el eje “X”
d) Intersección con el eje “Y”
e) Puntoóptimo
f) Concavidad
g) Gráfica
1y = (x − 1)² + 1
2y = 3(x − 1)² + 1
3y = 2(x + 1)² − 3
4y = −3(x − 2)² − 5
5y = x² − 7x −18
6y = 3x² + 12x – 5
II. Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parábolas:
1y = x² − 5x + 3
2y = 2x² − 5x + 4
3y = x² − 2x + 4
4y = −x² − x + 3
III. Representa gráficamente las funciones cuadráticas:
1y = −x² + 4x − 3
2y = x² + 2x + 1IV. Una función cuadrática tiene una expresión de la forma y = x² + ax + a y pasa por el punto (1, 9). Calcular el valor de a.
V. Se sabe que la función cuadrática de ecuación y = ax² + bx + c pasa por los puntos (1,1), (0, 0) y (−1,1). Calcula a, b y c.
VI.



SOLUCIONES


FUNCIONES CUADRÁTICAS
Modelando una Situación
 
Las ecuaciones cuadráticas a veces se usan para modelar situaciones orelaciones en los negocios, en la ciencia y en la medicina. Un uso común en los negocios es maximizar las ganancias, es decir, la diferencia entre los ingresos (dinero que entra) y los costos de producción (dinero gastado).
 
La relación entre el costo de un artículo y la cantidad vendida es normalmente linear. En otras palabras, por cada $1 de incremento en el precio hay un decremento correspondiente enla cantidad vendida. (Piénsalo: si el precio de algo sube, ¿compras más o menos? ¡Esperemos que menos!) Una vez que determinamos la relación entre el precio de venta de un artículo y la cantidad vendida, podemos pensar en cómo generar la máxima ganancia. ¿A qué precio de venta haríamos más dinero?
 
La cantidad de ganancia se encontrará tomando el total de ingresos (la cantidad vendidamultiplicada por el precio de venta) y restando el costo de producir todos los artículos: Ganancia = Ingreso Total – Costos de Producción. Podemos integrar la relación lineal del precio de venta a la cantidad y la fórmula de la Ganancia y crear una ecuación cuadrática, que entonces podemos maximizar. Veamos un ejemplo:
 
Aquí hay una muestra de datos:
 
Precio de venta $ (s)
Cantidad Vendida en 1 año (q)10
1000
15
900
20
800
25
700
 
 
Para calcular la ganancia, también necesitamos saber cuánto cuesta producir cada artículo. Para este ejemplo, el costo de producir cada artículo es de $10.
 
Ejemplo
Problema
Usando los datos anteriores, determinar el precio de venta s, que produce la ganancia anual máxima.
 
 

 
q = -20s + 1200
 
q = cantidad vendida
s = precio de venta del artículo
 
 
 
Graficars en el eje horizontal y q en el eje vertical. Usar dos puntos cualesquiera en la línea recta de la gráfica para encontrar la pendiente de la recta que es -20.  Leer la intersección en y como 1200.
 
Poner estos valores en la forma pendiente-intersección (y = mx + b):
q = -20s + 1200
 
 
 
 
P = sq – 10q
 
 
La fórmula de la ganancia es P = Ingresos Totales – Costos de Producción
 
Ingresos...