funciones de variable real

CAP´ITULO II.
FUNCIONES DE
VARIABLE REAL

SECCIONES
A. Dominio e imagen de una funci´on.
B. Representaci´on gr´afica de funciones.
C. Operaciones con funciones.
D. Ejercicios propuestos.

47

´
A. DOMINIO E IMAGEN DE UNA FUNCION.

Una relaci´on entre dos conjuntos X e Y de n´
umeros reales que hace corresponder a cada elemento ”x” del primer conjunto un solo elemento ”y” del
segundo conjunto sellama funci´
on de ”y” respecto a ”x”. Dicha relaci´on
viene expresada por una ecuaci´on en dos variables y = f (x).
El conjunto de n´
umeros reales ”x” para los cuales la f´ormula que define la
funci´on produce valores tambi´en reales se llama dominio de la funci´on. En
s´ımbolos,
D(f ) = {x ∈ R : ∃y ∈ R, y = f (x)}
El conjunto de valores ”y” que se obtienen como resultado de aplicar la
f´ormulaque define la funci´on a los valores del dominio se llama imagen o
rango de la funci´on.
R(f ) = {y ∈ R : ∃x ∈ D(f ), y = f (x)}
Gr´aficamente, el dominio corresponde a los valores del eje de abscisas (X)
en los cuales la funci´on se puede representar.
La imagen corresponde a los puntos del eje de ordenadas (Y ) para los que
existe gr´afica.

PROBLEMA 2.1.

Determinar las funciones a las que dalugar la ecuaci´
on de la
circunferencia x2 + y 2 = r2 .
Soluci´
on

La ecuaci´on√ x2 + y 2 = r2 no corresponde a una funci´on. Pero si escribimos y = ± r2 − x2 , obtenemos dos funciones cuyo dominio es el intervalo
cerrado [−r, r] para ambas, mientras que las im´agenes son diferentes: para
la primera funci´on es [0, r] y para la segunda, [−r, 0]. Las gr´aficas son las
que se muestran acontinuaci´on.

48

y=

√

√
y = − r2 − x2

r2 − x2

PROBLEMA 2.2.

¿Cu´
al (o cu´
ales) de las ecuaciones y = x2 , x = y 2 corresponde a
una funci´
on de y respecto a x?
Soluci´
on

Las ecuaciones y = x2 , x = y 2 representan dos par´abolas. La primera de
ellas es una funci´on pero la segunda no es funci´on. Sin embargo, da lu√
√
gar a dos funciones y = x e y = − x. Las gr´aficas son las siguientes:

y = x2y=

√

x

√
y=− x

De las gr´aficas se observa que el dominio de y = x2 es todo R y la imagen
√
√
el conjunto [0, ∞). El dominio de y = x e y = − x es el intervalo [0, ∞),
la imagen de la primera es tambi´en el intervalo [0, ∞) y la de la segunda
(−∞, 0].

PROBLEMA 2.3.

Encontrar el dominio y el rango de la funci´
on y =
49

√

1 − x.

Soluci´
on.

Para poder efectuar la ra´ız, el radicandodebe ser no negativo. Es decir,
tenemos que resolver la inecuaci´on 1 − x ≥ 0. La soluci´on es 1 ≥ x, o bien
x ∈ (−∞, 1].
El
√ rango o imagen corresponde a los posibles resultados de la operaci´on
1 − x. Como 1 − x ≥ 0, las ra´ıces de n´
umeros positivos dan n´
umeros
positivos y no falta ninguno. As´ı que la imagen es el intervalo [0, ∞).

PROBLEMA 2.4.

Encontrar el dominio y el rango de la funci´on y =

√

2

x+2 .

Soluci´
on.

De nuevo necesitamos efectuar una ra´ız cuadrada, para lo cual plantearemos
la inecuaci´on x + 2 ≥ 0. La soluci´on es x ≥ −2, o bien, x ∈ [−2, ∞).
El
√ rango 2o imagen corresponde a los posibles resultados de la operaci´on
x + 2 . La ra´ız cuadrada da resultados positivos y al elevarlos al cuadrado el resultado tambi´en es positivo. De nuevo la imagen es elintervalo
[0, ∞).
Observaci´
on: No se puede confundir la funci´on anterior con la funci´on y =
x + 2, pues el dominio de esta u
´ltima son todos los reales. La simplificaci´on
de la ra´ız con el cuadrado s´ı es posible pero s´olo para los valores de x ≥ −2,
que son los del dominio de la funci´on.

PROBLEMA 2.5.

Encontrar el dominio y el rango de la funci´
on y =

1
.
cos(x2 )

Soluci´
on.

En estecaso aparece una divisi´on, que es una operaci´on v´alida para n´
umeros
reales no nulos. Debemos plantear la inecuaci´on cos(x2 ) = 0.
50

Como la funci´on coseno se anula en los valores ±π/2, ±3π/2, ±5π/2, . . . , debe ser x2 = ±π/2, ±3π/2, ±5π/2, . . . , es decir, x = ± π/2, ± 3π/2, ± 5π/2, . . .
Todos estos valores formar´an el dominio.
Como la funci´on coseno toma valores comprendidos entre...