Funciones-Distribucion

VARIABLES ALEATORIAS. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN. Dado un experimento aleatorio, con espacio muestral E, una variable aleatoria es una aplicación X:E   R →

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Ejemplo: Se lanzan dos monedas, E= {cc, cx, xc, xx}, la siguiente variable aleatoria cuenta el número de caras que se obtienen: X:E  cc 2 cx 1 xc 1 xx 0

Una variable aleatoria puede ser discreta, si sólo puede tomar una cantidadfinita de valores, o continua, si puede tomar infinitos valores. La variable aleatoria del ejemplo anterior es discreta ya que solo, puede tomar los valores 0, 1 y 2. Si X es una variable aleatoriadiscreta que toma los valores x1, x2, ..., xn, la función de densidad o función de probabilidad de la variable X es la función que asigna a cada valor x i la probabilidad de que X tome ese valor, esdecir: f(xi) = p(X = xi) y además se cumple ∑f(xi) = f(x1) + f(x2) + ... + f(xn) = 1
En el ejemplo anterior la función de densidad es f(0) = p(X = 0) = 1/4 = 0´25 f(1) = p(X = 1) = 2/4 = 0´5 f(2) = p(X= 2) = 1/4 = 0´25 y cumple f(0) + f(1) + f(2) = 1

Si X es una variable aleatoria discreta, la función de distribución F de X da la probabilidad de que X tome un valor menor o igual a xi, es decir:F(xi) = p(X ≤ xi)
En el ejemplo la función de distribución es F(0) = p(X ≤ 0) = 0´25 F(1) = p(X ≤ 1) = 0´75 F(2) = p(X ≤ 2) = 1

Conociendo la función de distribución se puede calcular laprobabilidad de que la variable aleatoria discreta X tome valores en el intervalo (a,b] de la siguiente manera: p(a < X ≤ b) = F(b) – F(a)
En el ejemplo p(0 < X ≤ 2) = F(2) – F(0) = 1 – 0´25 = 0´75

Lamedia o esperanza de la variable aleatoria discreta X es µ = E(X) = ∑f(xi)·xi = f(x1)·x1 + f(x2)·x2 + ... + f(xn)·xn La varianza de la variable aleatoria discreta X es σ2 = V(X) = ∑ f(xi)·xi2 – E(X)2 Ladesviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza σ = V ( X)
Los cálculos para el ejemplo son: µ = E(X) = 0´25·0 + 0´5·1 + 0´25·2 = 1 σ2 = V(X) = 0´25·02 + 0´5·12 + 0´25·22 – 12 = 0 +...