Funciones En R

FUNCIONES EN R
Alexis Vera P´erez
Instituto de Estad´ıstica & Sistemas Computarizados de Informaci´on
Universidad de Puerto Rico, Recinto de R´ıo Piedras
Agosto 2007
1 Definici´on y notaci´on
Definici´on 1 Una funci´on es una relaci´on de correspondencia entre los
elementos de dos conjuntos (Dominio y Campo de Valores) donde a cada
elemento en el dominio se le asigna uno y solamente unelemento en el
campo de valores.
Podemos utilizar varias formas para denotar una funci´on f. Por lo general
las funciones que estudiamos le asignan a cada n´umero real en su dominio
un n´umero real.
Esto es,
f : R ¡! R
En general, funciones que van desde un conjunto A hasta un conjunto B,
las denotamos f : A ¡! B.
A cada elemento en el campo de valores se le llama im´agen de la funci´on.
Sif es la funci´on que a cada n´umero real x le asigna x + 7, escribimos
f : x 7! x + 7
Para indicar la im´agen de x en f utilizamos la notaci´on
f(x) = x + 7
y se lee “f de x es igual a x + 7”.

2 DOMINIO Y CAMPO DE VALORES

EJEMPLO

Si f(x) = x
2 + 1, indica f(2), f(¼) y f(x + h).
² f(2) = 2
2 + 1 = 4 + 1 = 5
² f(¼) = ¼
2 + 1
² f(x + h) = (x + h)
2 + 1 = x
2 + 2xh + h
2 + 1
2Dominio y Campo de valores
Definicion 2 El dominio de una funci´on f : R ¡! R es el conjunto de
n´umeros reales para los cuales la im´agen de f es un n´umero real. Esto es,
Df = fx 2 R j f(x) 2 Rg
EJEMPLO
Indica el dominio de las siguientes funciones: f(x) = 3x + 2, g(x) =
p
x ¡ 1
y h(x) =
x
2 + 6
2 ¡ x
² Df = fx 2 R j f(x) 2 Rg = fx 2 R j 3x + 2 2 Rg = R
² Sabemos que para que
p
x ¡1 sea un n´umero real el radicando tiene
que ser mayor o igual a cero. Por lo tanto, x¡1 ¸ 0 ) x ¸ 1. As´ı que
Dg = fx 2 R j x ¸ 1g = [1;1).
² Para que h est´e definida sobre R su denominador tiene que ser diferente
de cero. Por lo tanto, 2 ¡ x 6= 0 ) 2 =6 x. As´ı que
Dh = fx 2 R j x 6= 2g.
Definici´on 3 El campo de valores de una funci´on f : A ¡! R es el
conjunto de y 2 R tales que existeal menos un x 2 A, y = f(x). Esto es,
CVf = fy 2 R j (9x 2 A) ^ (y = f(x))g
EJEMPLO
Sea f(x) = x
3 + 5. Vemos que f siempre est´a definida sobre los reales (i.e.
Df = R). ¿Existe para todo y 2 R alg´un x tal que x
3 + 5 = y? Si es cierto,
entonces CVf = R.

24 COMPOSICION DE FUNCIONES

4 COMPOSICI
´ON DE FUNCIONES
3 Algebra de las funciones
De igual forma que con los n´umeros reales,podemos efectuar operaciones de
suma, resta, multiplicaci´on y divisi´on con funciones.
Definici´on 4 Si f, g son funciones y x 2 (Df \ Dg), entonces podemos
definir las siguientes funciones:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) suma de f y g
(fg)(x) = f(x) ¢ g(x) producto de f y g
EJEMPLO
Sean f(x) =
p
x + 1 y g(x) = x
2
.
² indica el dominio de f + g; fg.
² Halla una f´ormula para (f + g)(x);(fg)(x).

SOLUCION
² Sabemos que Df = [¡1;1) y Dg = R.
Entonces Df \ Dg = [¡1;1) = Df+g = Dfg.
² (f + g)(x) = f(x) + g(x) =
p
x + 1 + x
2
.
(fg)(x) = f(x) ¢ g(x) = x
2
p
x + 1.
Definici´on 5 8x 2 (Df \ Dg), definimos
(f ¡ g)(x) = f(x) ¡ g(x)
8x 2 (Df \ Dg), tal que g(x) 6= 0, definimos
µ
f
g
¶
(x) = f(x) g(x)

4 COMPOSICION DE FUNCIONES

Muchas de las funciones que estudiamos sepueden expresar como la composici´on de dos funciones m´as sencillas. Por ejemplo, f(x) =
p
x + 1 se puede
expresar como la composici´on de las funciones '(x) = x + 1 y µ(x) =
p
x.

5 FUNCIONES INVERSAS
Definici´on 6 La composici´on de las funciones f y g (i.e. f ± g) se define
(f ± g)(x) = f(g(x))
Definici´on 7 El dominio de f ± g se define
Df±g = fx 2 R j (x 2 Dg) ^ (g(x) 2 Df )g
EJEMPLOSi f(x) = x
3
y g(x) = 3p
x, halla una f´ormula para f ± g.
SOLUCION
(f ± g)(x) = f(g(x)) = f(3px) = (3px)3 = x

EJEMPLO

Sean f(x) = x2 + 1 y g(x) = px.
Halla una f´ormula para f ± g e indica su
dominio.

SOLUCION
(f ± g)(x) = f(g(x)) = f(px) = (px)2 + 1 = x + 1. Por la definicion 7,px 2 R ) x ¸ 0. Por lo tanto, Df±g = [0;1).
Comentario
Note que (g±f)(x) = g(f(x)) = g(x2+1) =...