Funciones Lineales

FUNCIONES LINEALES DE COSTOS
El costo es la expresión cuantitativa monetaria representativa del consumo necesario de factores de la producción que se emplean para producir un bien o prestar un servicio.
Con las funciones de costos trataremos de plantear un modelo matemático simplificado de la realidad económica. Iniciaremos diciendo que los costos de producción de un bien o de prestación deun servicio tienen distintos componentes que, en un principio, le atribuiremos un comportamiento lineal, pues es el modelo más sencillo.
Las funciones lineales cumplen un importante papel en el análisis cuantitativo de los problemas económicos. En muchos casos los problemas son lineales pero, en otros, se buscan hipótesis que permitan transformarlos en problemas lineales ya que su solución esmás sencilla.

Costo lineal
Cuando una empresa produce cualquier bien o presta un servicio, deberá utilizar una serie de insumos que valorizados monetariamente le genera costos, que analizados en función a la relación con la producción total, los denominaremos costos fijos y costos variables. Los primeros, como lo indica su nombre, son independientes de las cantidades de un artículo que seproduzca o un servicio que se preste (p.ej.: alquiler del local, depreciación de los bienes durables, determinados impuestos, etc.). En cambio, los costos variables dependen de la cantidad que se produzca de ese artículo o que se preste del servicio, (p. ej.: costos de materiales, de mano de obra productiva, etc.)
El costo total es la suma de ambos
Costo total = Costos fijos + Costos variablesSi a los costos fijos de producir x artículos lo indicamos como b pesos, estamos en presencia de una función constante de la forma f(x) = b
Haciendo b = 6, confeccionamos la gráfica correspondiente de CF (x) = 6

Podemos observar que si se confeccionan 1, 5 u 8 artículos se mantiene el mismo valor de costo fijo, por eso decimos que CF (x) = 6 es una función constante.
Para simplificarnuestro análisis supongamos la condición de que el costo variable por uni¬dad de artículo se mantiene constante, en ese caso los costos variables totales serán proporcio¬nales a la cantidad de artículos producidos.
Si a pesos indican el costo variable por unidad, los costos variables para
producir x unidades del artículo serán ax pesos. Estamos en presencia de una función lineal de la formag(x) = ax
Hacemos a = 0,8, o sea g(x) = 0,8 x , por lo que expresamos la función de costo variable:
CV(x) = 0,8 x


Como el costo total para producir x artículos es la suma de los costos anteriores, tenemos
CT(x) = CV(x) + CF(x)
CT(x) = ax + b (función afín)CT(x) = 0,8 x + 6


Ejemplo 1 El costo variable de fabricar juntas para machimbre es de $ 2 por unidad y los costos fijos por día son de $30. Escriba la fórmula de costo total y construya su gráfica
¿Cuánto cuesta fabricar 25 juntas de machimbre por día?

Solución
El costo total de fabricar x juntas de machimbre en un día es
C(x) = 2x + 30


El costo total de fabricar 25 juntasde machimbre por día es de $ 80.
C(25) = 2. 25 +30
C(25) = 80

Ejemplo 2: El costo de fabricar 10 bolsas de cartón al día es de $2,20, mientras que fabricar 20 bolsas del mismo tipo cuesta $ 3,80. Suponiendo que se trate de un modelo de costo lineal, determine la fórmula correspondiente a producir x bolsitas de papel en el día y construya su gráfica.Solución:
En este caso tenemos dos puntos P(10; 2,2) y Q (20; 3,80), pudiendo construir la ecuación que determine la relación.
Por la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, tenemos

y = 0,16x+0,6





En el gráfico observamos que como x puede tomar únicamente valores enteros no negativos, no podemos representar a la función como una linea recta continua....