Funciones matematicas

17 – FUNCION LOGARITMICA

DERIVADA

EL Nº e


x
y = ( 1 + x )1/x


- 0.5
4


- 0.1
2.8680

↓
- 0.01
2.7320
↓
0


2.7182 = e
↑
0.01
- 2.7000
↑

0.1
- 2.5937


0.5
- 2.25


Dada

y = ( 1 + x )1/x

Al graficar esta función observamos que:

y = f( 0 ) = ( 1 + 0 )1/0 = 1∞

que no existe, dado que es una indeterminación, pero a medida que losvalores de “x” se aproximan a “0” por la izquierda y por la derecha, los valores de “y” tienden al número “e” base de los logaritmos neperianos.

e = 2,7182

O sea que cuando

x → 0 y = ( 1 + x )1/x → 2.7182

Luego

lim ( 1 + x )1/x = 2.7182 = e ( 1 )
x→0

Este número “e” es la base de los llamados logaritmos naturales o neperianos.

Si en ( 1) hacemos lasustitución

x = 1/t

para

x→0 t→∞

lim ( 1 + x )1/x = lim ( 1 + 1/t ) t = 2.7182 = e ( 2 )
x→0 t→∞

LOGARITMOS

Consideremos la función

y = log a x

con

a > 0 y a ≠ 1

Donde

a = nº = base de los logaritmos

a = 10 → log. decimal y = log x

a = e → log. natural y = ln x

Para calcular la derivada de esta función

y= ln x

Δy = f ( x + Δx ) – f (x)

Δy = ln ( x + Δx ) – ln (x)

Δy = ln ( x + Δx )
x

Δy = ln ( 1 + Δx/x )

Δy = ln ( 1 + 1 )
x
Δx

Δy/Δx = 1/Δx . ln ( 1 + 1 )
x
Δx


Δy/Δx = 1 . x . ln ( 1 + 1 )
x Δx x
Δx

Δy/Δx = 1 . ln ( 1 + 1)x/Δx
x x
Δx

y´= lim Δy/Δx = lim 1 . ln ( 1 + 1 )x/Δx
Δx→0 Δx→0 x x/Δx

pero

lim ln f ( x ) = ln lim f (x)
Δx→0 Δx→0

y´ 1 . ln lim ( 1 + 1 )x/Δx
xΔx→0 x/Δx

De ( 2 ) = e


y´ = 1/x . ln e


y´ = 1/x

Observación: De (2)


Consideremos

t = x / Δx sí Δx→0 luego t→∞

Por lo tanto

lim ( 1 + 1 )x/Δx = lim ( 1 + 1/t ) t = 2.7182 = e
Δx→0 x/Δx t→∞luego sí

y = ln x y´ = 1/x

Por propiedades de los logaritmos

y = log a x → ay = x

y = ln x → ey = x

Consecuencia

Si: y = log a x

ay = x

aplicando ln a la igualdad

ln a y = ln x

y . ln a = ln x

por lo tanto

y = ln x
log a

Luego

y = log a x = ln x
log a

Sí en particular

a =10 → y = log x = ln x = 0,4343 . ln x
log 10

Entonces

y = log x

y´ = 0,4343 . 1/x = 1 . 1
log 10 x

Ejemplo: Derivar y = ln3 ( 3x – 2 )

y´= 3. ln2 ( 3x – 2 ) . 3
3x – 2

y´= 9. ln2 ( 3x – 2 )
3x – 2

Ejemplo: Derivar y = log sen x

y´=0.4343. cos x
sen x

y´= 0.4343 . cotg x


FUNCION POTENCIAL


y = xm → m = nº real


Ejemplos: y = x1.71
y = √ x = x1/2
y = xe = x2.7182

Considerando que

y = xm

Aplicamos logaritmos a ambos miembros

ln y = ln xm

ln y = m . ln x

Derivamos en forma implícita

y´ = m . 1
y x

y´= m . y
x

y´= m . xm
xy´= m . x m-1

Ejemplo: Derivar y = x 1.71

y´= 1.71 . x 0.71

FUNCION EXPONENCIAL

y = ax con a ≠ 1 y a > 0

De estas funciones exponenciales la que nos interesa es aquella cuya base es a = e.

y = ex

x
y = ex
0
1
0.5
1.6
1
2.7
2
7.3
-0.5
0.6
-1
0.36

DERIVADA DE LA FUNCION EXPONENCIAL

Dada y = ax con a ≠ 1 y a > 0

Aplicamos...