funciones trascendentes

Función inversa.

Definición._ Si f(x) es una función inyectiva (de pares ordenados (x,y)), entonces podemos decir que existe f^(-1)(x) (función inversa de pares ordenados (y,x)) definida por:
x=f^(-1) (x) si y solo si y=f(x)
De la definición de función inversa: la condición de que f debe ser inyectiva asegura que f^(-1) (x) esunica para cada valor de x.
El dominio de f^(-1) es el rangode f.
El rango de f^(-1) es el dominio de f.
Si f tiene como su inversa a f^(-1) entonces f^(-1) tiene como su inversa a f, además:
f^(-1) (f(x) )=x ∀ x ∈Df
f(f^(-1) (x) )=x ∀ x ∈Df^(-1)
La función inversa (f^(-1) (x)=x) es el reflejo de la función (f(x)=x) con respecto a la función identidad.

Calculo de una función inversa.
1 Se escribe la función de la ecuación con x e y.
2 Sedespeja la variable x en función de la variable y.
3 Se intercambia x por y respectivamente.
Ejemplo:
f(x)=(2x+3)/(x-1)
1. y=(2x+3)/(x-1)
2. x=(y+3)/█(y-2@)
3. y=(x+3)/(x-2)
f^(-1) (x)=(x+3)/(x-2)
Teoremas:
-Si fes continua en el intervalo serrado [a,b] entonces:
f tiene inversa f^(-1) definida en [f(a),f(b) ]
f^(-1) es creciente en [f(a),f(b) ]
f^(-1) es continua en[f(a),f(b) ]
-Si f es continua y decreciente en el intervalo serrado [a,b] entonces:
f tiene inversa f^(-1) definida en [f(b),f(a) ]
f^(-1) es creciente en [f(b),f(a) ]
f^(-1) es continua en [f(b),f(a) ]

Derivada de una función inversa.

La derivada de una función inversa se puede demostrar a partir de los teoremas de función inversa expresada en la relación de las derivadas de una función y suinversa.
Si f es continua en el intervalo serrado [a,b] y sea y=f(x)
Si existe f^´ (x) y es distinto de cero ∀ x ∈[a,b] entonces (f^(-1) )´(x) definida por x=f^(-1) (x) existe y está dada por:
dx/dy= 1/(dy/dx)
Demostración:
∆y=f(x+∆x)-f(x)
∆x=f^(-1) (y+∆y)-f^(-1) (y)
dx/dy=lim┬(∆x→0)⁡〖(f^(-1) (y+∆y)-f^(-1) (y))/█(∆y@)〗
lim┬(∆x→0)⁡〖∆x/█(f(x+∆x)-f(x)@)〗lim┬(∆x→0)⁡〖(∆x/∆x)/((f(x+∆x)-f(x))/∆x)〗
lim┬(∆x→0)⁡〖1/((f(x+∆x)-f(x))/∆x)〗
lim┬(∆x→0)⁡1/lim┬(∆x→0)⁡〖(f(x+∆x)-f(x))/∆x〗
dx/dy=1/(f´(x))

Funciones Trigonométricas.

Las funciones trigonométricas son aquellas que se definen pon la aplicación de las razones trigonométricas a los distintos valores de la variable independiente. Existen seis clases de funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante).Función Seno.- Es la relación que existe en la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa.
f(x)=senx≈f(x)=(cat.op)/hip

Dominio:
Rango: [−1, 1]
Período: 2π rad
Continuidad: Continua en ∀ x ∈ R
Función Coseno: Es la relación que existe entre la longitud del cateto adyacente y la hipotenusa.
f(x)=cosx ≈f(x)=(cat.ady)/hip

Dominio:
Recorrido: [−1, 1]
Período: 2π radContinuidad: Continua en ∀ x ∈ R
Función Tangente.- Es la relación que existe entre la longitud del cateto opuesto y el cateto adyacente.
f(x)=tgx ≈f(x)=(cat.op)/(cat.ady)

Dominio: {(2k+1)*π/2 k ϵ Z}≈{…,-π/2,π/2,3π/2,…}
Recorrido: R
Continuidad: Continua en∀x R
Período: π rad
Función Cotangente.- Es la relación que existe entre la longitud del cateto adyacente y el cateto opuesto.f(x)=ctgx≈f(x)=(cat.ady)/(cat.op)

Dominio: R/ x∈ {…-π,0,π…}
Recorrido:
Continuidad: Continua en
Período:π rad
Función Secante.- Es la relación que existe entre la longitud de la hipotenusa y el cateto adyacente.
f(x)=sec⁡〖x ≈f(x)= hip/(cat.ady)〗

Dominio:
Recorrido: (− ∞, −1] [1, ∞)
Período:
Continuidad: Continua en
Función Cosecante.- Es la relación que existe entre lalongitud de la hipotenusa y el cateto opuesto.
f(x)=csec x ≈f(x)=hip/(cat.op)

Dominio:
Recorrido: (− ∞, −1] [1, ∞)
Período:
Continuidad: Continua en

Funciones Trigonométricas Inversas.

Las funciones trigonométricas inversas son utilizadas para hallar el valor de los ángulos de un triángulo a partir de los valores de sus lados. Sin embargo las funciones...