Funciones trascendentes

FUNCIONES

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. 
En este trabajo de investigación desarrollaremos la clasificación de dichas funciones, tomando como tema central a las funciones trascendentes. A continuación se desarrollará una corta introducción acerca del tema.
CLASIFICACIÓN POR SU NATURALEZA
Las funcionespodrán clasificarse de diferentes formas en relación a sus características:
Algebraicas
Trascendentes
Combinadas

FUNCIONES ALGEBRAICAS: Una función algebraica es aquella que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios, y en la que todos sus términos son algebraicos y no intervienen relaciones trigonométricas, logarítmicas o exponenciales.
Por ejemplo:FUNCIONES TRASCENDENTES: Son aquellas funciones en las cuales solo intervienen relaciones trigonométricas, logarítmicas o exponenciales y sin participar en su relación con las algebraicas.
Por ejemplo:

FUNCIONES COMBINADAS: Son aquellas que combinan las funciones algebraicas con las trascendentes.
Por ejemplo:


Dada esta pequeña introducción, comenzaremos a desarrollar nuestro tema central queson las Funciones Trascendentes, su clasificación, propiedades de cada una de estas, etc.
FUNCIONES TRASCENDENTES

En otras palabras, una función trascendente es una función que trasciende al álgebra en el sentido que no puede ser expresada en términos de una secuencia finita de operaciones algebraicas como la suma, resta y extracción de raíces. Una función de una variable es trascendente sies independiente en un sentido algebraico de dicha variable.´
Éstas pueden ser divididas en:
Funciones exponenciales
Funciones logarítmicas
Funciones trigonométricas
Funciones hiperbólicas

FUNCIONES EXPONENCIALES

Son aquellas funciones en las que la variable independiente se encuentra en el exponente
Por ejemplo:

En donde “3” es la base y “x” el exponente. Para comprender mejor esto, daremos unatabla de valores recordando que 3° =1
x
y
-3
1/27
-2
1/9
-1
1/3
0
1
1
3
2
9

En este caso hemos trabajado con exponentes racionales. ¿Qué pasaría si x toma como valor o ?
En este caso lo más adecuado es aproximar el valor de x a sus valores reales y tomar dichos valores para aproximarnos al verdadero valor.
Por ejemplo:


Por lógica nos damos cuenta que mientras más valores decimales le damos a xmás exacta es nuestra aproximación a .
GRÁFICA DE FUNCIONES EXPONENCIALES
Primero graficaremos usando puntos. Y nos daremos cuenta de lo sencillo que es reconocer una gráfica de estas.
F(x)=
x
y
-3
1/27
-2
1/9
-1
1/3
0
1
1
3
2
9


Podemos generalizar la gráfica de cualquier base a que sea positiva, de acuerdo su valor sea menor o mayor que 1, de la siguiente manera:NOTA: Como es de suponerse la base no podría ser uno, ya que en este caso se volvería en una función lineal, pues el 1 elevado a cualquier potencia, siempre va a ser 1.
DOMINIO Y RANGO
Dom f = IR
Ran f = (0, ∞)
Formando en y=0 es decir en el eje x una asíntota horizontal de f.
PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES
Si a y b son números positivos y x1 y x2 son números reales, entonces cumple que:APLICACIONES
Crecimiento de poblaciones.
Interés del dinero acumulado.
Desintegración radioactiva.


FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Toda función exponencial , cuando a es mayor que 0 y no es 1 es una función biunívoca por la Prueba de la Recta Horizontal y por tanto tiene una función inversa. La función inversa se denomina función logarítmica con base a y se denota
Entonces, gracias a esto podemostener una definición:
Sea a un número diferente a 1. La función logarítmica a denotada por loga, está definida por:

Entonces, podemos observar que:








PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS






DOMINIO Y RANGO
Como hemos visto las funciones logarítmicas son las inversas de las funciones exponenciales, y por ende, su dominio y su rango también serán inversos, de esta manera.
En las funciones...