Funciones trascendentes

1. Funciones trascendentes. 1.1Función logaritmo natural. Definición de la función logaritmo natural. La función logaritmo natural se define como
x1 ln x   dt , x  0 . 1 t

El dominio de lafunción logaritmo natural es el conjunto todos los reales positivos. Gráfica de la función logarítmica.

Teorema 1. Propiedades de la función logaritmo natural. La función logaritmo natural tiene lassiguientes propiedades: 1. El dominio es (0,∞) y el rango es (-∞,∞). 2. La función es continua, creciente e inyectiva. 3. La gráfica es cóncava hacia abajo. Teorema 2. Propiedades de los logaritmos. Sia y b son números positivos y n es racional, se satisfacen las siguientes propiedades. 1. ln1=0 Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 1

2. ln (ab)= ln a + ln b 3. ln an=n ln a 4. ln (a/b)= ln a –ln b. El número e. Definición de e. La letra e denota el número real positivo tal que

ln e  

e

1

dt 1 t

La derivada de la función logaritmo natural. Teorema 3. Derivada de lafunción logaritmo natural. Sea u una función derivable en x

1.

d 1 (ln x)  , x  0 dx x
x

2.

d 1 du u ' (ln u )   ,u  0 dx u dx u

Demostración de la expresión 1.

Sea F(x)= ln x= 
F'( x)  f ( x) 
Q.E.D.

1

dt t

Aplicando el segundo teorema fundamental del cálculo:

d ln x d  dx dx



x

1

dt 1  t x

Ejemplos: Derivación de funciones logarítmicas.

a)f ( x)  ln x2  x
Aplicando propiedades logarítmicas, reescribimos antes de derivar:

f ( x)  1 ln( x 2  x) 2

Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 2

Derivando la nueva expresión, tenemosque:

dy 1  2x 1    2  dx 2 x  x
b.

f ( x)  ln

x( x 2  1)2 2 x3  1

Primero aplicamos las propiedades de los logaritmos y luego derivamos:

f ( x)  ln x  2ln( x 2  1)  1ln( x3  1) 2

Derivando la nueva expresión:

f '( x) 

2 1 4x 3x 2  2x  1  6x  1  2 2    3    2  3 x  x  1  2  2x 1  x x  1 2x 1

1.2 Derivación logarítmica. Se llama...