Funciones Vectoriales

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
CÁLCULO VECTORIAL

NOMBRE: ARELLANO CHALUISA ALEXIS
PROFESOR: SALAZAR CÁRDENAS NÉSTOR ALONSO
CURSO: GR 1
TEMA: Funciones Vectoriales de una variable
FECHA: 12/08/2013

Límites y continuidad

Límite finito

Intervalo cerrado
Un segmento en el eje numérico con extremos a y b, con a < b, se denomina intervalo. Si los puntos extremos, a y b, estánincluidos en el intervalo, se dice que el intervalo es cerrado, y se denota por [a,b].
[a,b] = { x perteneciente a R / a 0 / para todo x, 0 < |x-a| < δ |f(x) - b| < ε.

Otra notación:
limx->a f(x)=b para todo Eb,ε existe un E*a,δ / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) pertenece a Eb,ε.

Se dice que la función f(x) tiene límite b, cuando x tiende a a, si dado ε positivo arbitrario y tan pequeñocomo se quiera, existe un δ tal que para todo x perteneciente al entorno reducido de a de radio δ, la función pertenece al entorno de b de radio ε.

Dicho de otro modo, para cualquier número positivo ε, por pequeño que sea, podemos encontrar un δ tal que para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) está dentro del entorno de b de radio ε.



limx->af(x)=bsignifica que por más pequeño que sea el entorno considerado alrededor de b, va a ser posible encontrar un entorno de a, para cuyos valores x (x ≠ a), la función f da como resultado valores que están dentro del entorno de b considerado.

En otras palabras, la función f(x) tiene límite b, cuando x tiende a a, si el valor de la función f(x) se hace arbitrariamente próximo al valor b cuando x seaproxima al valor a.

Notar que la definición dice entorno reducido de a. Es decir que f(a) puede no existir, o puede estar fuera del entorno de b, pero el límite de f cuando x tiende a a sigue siendo b.


Continuidad

f(x)=x2
Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de unsólo trozo de curva.


f(x)=sgn x
En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí una discontinuidad.
La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.

Continuidad
Una funciónf(x) es continua en un punto a si limx->af(x) = f(a).
Nota: observar que debe existir f(a) y debe existir el limx->a f(x) y debe ser igual a f(a).
Ejemplos de discontinuidad

f(x)= 1/x2

Discontinua en x=0 (No existe f(0))



f(x) = x2 si x 2 

Discontinua en x=2.

Si bien existe f(2), no existe limx->2f(x), pues limx->2-f(x)=4 y limx->2+f(x)=0
Sin embargo, si miramos la función parax próximos a 2 pero menores, e ignoramos los x mayores que 2, la función es continua en 2 "por la izquierda".

Continuidad por la izquierda
Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) y limx->a-f(x) = f(a).

Continuidad por la derecha
Una función f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) y limx->a+f(x) = f(a).
La función anterior escontinua por la izquierda en x=2, pero no por la derecha.

Continuidad en un intervalo cerrado [a,b]
Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] si:
f es continua en a por la derecha
f es continua en b por la izquierda
f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a,b)

Clasificación de discontinuidades
Evitable
Caso A:
No existe f(a) pero existelimx->af(x).
Ejemplo:


f(x)= e-1/x2 + 2
No existe f(0) pues anula un denominador.
limx->0-f(x) = limx->0+f(x) = 2 o sea limx->0f(x)=2
Podemos extender la definición de la función, asignándole en el punto a el valor del límite, con lo cual la función se torna continua. Por ello este tipo de discontinuidad se denomina evitable.
Caso B:
Existe f(a) y existe limx->af(x)=b pero b≠f(a).
(Existe f(a)...