Funciones Vectoriales

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

MOISES VILLENA

3
3.1. FUNCIÓN VECTORIAL
3.2. GRAFICA DE UNA FUNCIÓN
ESCALAR
3.1.
3.3. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
3.2.
ESCALAR
3.3.
3.4. CONJUNTO DE NIVEL
3.4.
3.5. LIMITES DE FUNCIONES DE
VARIAS VARIABLES
3.6. CONTINUIDAD
3.7. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
ESCALAR
3.8. DIFERENCIABILIDAD
3.9. GRADIENTE
3.10. LA DIFERENCIAL
3.11. REGLA DE LACADENA
3.12. DERIVACIÓN IMPLICITA
OBJETIVOS:
•
•
•
•
•
•
•

Conceptualizar funciones Vectoriales, Escalares y Curvas
Describir conjuntos de niveles.
Establecer límites, continuidad y derivadas de funciones de dos variables.
Determinar si una función de dos variables es derivable o no.
Determinar si una función de dos variables es diferenciable o no.
Obtener derivadas de funcionescompuestas.
Obtener derivadas de funciones implícitas.

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Cap. 3 Funciones de Varias Variables

MOISES VILLENA

3.1 FUNCIÓN VECTORIAL
3.1.1 DEFINICIÓN

Una función del tipo f : U ⊆ R n → R m se la
denomina FUNCIÓN VECTORIAL o CAMPO
VECTORIAL.
Ejemplo.
Sea f : R 2 → R3 tal que f ( x, y ) = ( 2 x − y, x + y,3x + 5 y )
Esquemáticamente tenemos:
f

R2

(1,1)
(− 2,0)

Si

R3(1,2,8)
(− 4,−2 − 6)

m = 1, tenemos f : U ⊆ R n → R , se la denomina FUNCIÓN ESCALAR,

CAMPO ESCALAR, O FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES.
Si

f : U ⊆ R 2 → R , tenemos una FUNCIÓN DE DOS VARIABLES.
Ejemplo.
Sea f : R 2 → R tal que f ( x, y) = 6 − 2 x − 3 y

Si

f : U ⊆ R 3 → R , tenemos una FUNCIÓN DE TRES VARIABLES.
Ejemplo.
Sea f : R 3 → R tal que f ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2Si

n = 1,

tenemos
TRAYECTORIA o CURVA.

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f :U ⊆ R → Rm ,

la

cual

se

la

denomina

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

MOISES VILLENA

Ejemplo.
Sea f : R → R 3 tal que f (t ) = (2 − 3t , 4 + t , − 1 + 2t )
Tenemos una CURVA de

R3 .

Este capítulo lo dedicaremos al estudio de FUNCIONES ESCALARES.

3.2. GRAFICA DE UNA FUNCIÓN ESCALAR
3.2.1 DEFINICIÓNSea f : U ⊆ R n → R . Se llama gráfica de
f al conjunto de puntos (x1 , x2 , , xn , f (x ))
de R n+1 , donde x = ( x1 , x2 ,
Si tenemos

z = f ( x, y )

, xn ) ∈U .

una función de dos variables. Su gráfica se

(

)

define como el conjunto de puntos x, y , z de R , tales que z = f ( x, y ) . El
lugar geométrico es llamado Superficie, como ya se lo ha anticipado.
3

Algunassuperficies que corresponde a funciones, ya se han graficado en el
capítulo anterior.
Ejemplo.
Para f : R 2 → R tal que f ( x, y) = 6 − 2 x − 3 y , su grafico es el conjunto ( x, y , z ) de R 3
tales que z = 6 − 2 x − 3 y (un plano)
z

6

z = 6 − 2x − 3y

2

y

3
x

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Cap. 3 Funciones de Varias Variables

MOISES VILLENA

Elaborar gráficas de una función de dos variables no estan sencillo, se
requeriría de un computador en la mayoría de las ocasiones. Pero si podemos
saber características de sus graficas analizando su regla de correspondencia.

3.3 DOMINIO DE UNA FUNCIÓN ESCALAR
Sea f : U ⊆ R n → R , entonces su DOMINIO es
el conjunto U
Es

decir,

su

DOMINIO

está

constituido

por

vectores

de

Rn ,

x = ( x1 , x2 , , xn ) para loscuales tiene sentido la regla de correspondencia.
Aquí a x1, x 2 , , x n se las denominan VARIABLES INDEPENDIENTES.
Si

f : U ⊆ R 2 → R , su dominio será un subconjunto del plano.

Establecer el Dominio Natural, igual que para funciones de una variable, es
una necesidad en muchas ocasiones.
Ejemplo 1
Hallar el Dominio Natural para f ( x, y ) = x 2 + y 2
SOLUCIÓN.
Observe que la regla decorrespondencia no tiene restricciones, por tanto se le puede dar
cualquier valor real a las variables independientes “ x ” y “ y ”, es decir Domf = R 2 .
Además, se puede decir que el Dominio de una función de dos variables será la PROYECCIÓN QUE
2
2
TENGA SU GRÁFICA EN EL PLANO xy . Recuerde que la gráfica de z = x + y es un paraboloide.
z

y

x

Por tanto la proyección es todo el...