Funciones Vectoriales

fUNIVERSIDAD DEL VALLE. Alvaro Ortiz Gu´ 1. Funciones Vectoriales ıa 1. Determine el dominio de cada una de las siguientes funciones vectoriales a) r(t) = 5ti − 1 j t b) r(t) =
1 i t−3

+

1 jt−5

√ c) r(t) = cos(t)i + sin(t)j + 9 − t2 k √ d ) r(t) = ln(t − 1)i + 20 − tj e) r(t) = ln(t−1 )i + tan−1 (t)j + tk 2. Determine el l´ ımite que se pide o indique que no existe a) l´ ım
t→1
2 t−1 ,− t +2t−3 t2 −1 t−1

b) l´ ım
t→0

sin t cos t i t 3t2 i t2 +1

−

7t3 j et

+

t k t+1

c) l´ ım d ) l´ ım
t→1 t→0

t→∞

+ 5j t

2 t−1 , − t +2t−3 t2 −1 t−1 −1

t e) l´ − et2 , − |t| ım

3. Sean u(t) = cos(t)i − sin(t)j y r(t) = sin(t)i + cos(t)j. Calcular a) r (t) b) Dt [r(t).u(t)] c) Dt [3r(t) − u(t)] d ) Dt [ r(t) ]. 4. Calcular a) (6t2 i − 3j)dt

b) c)

π/2 (3cos ti 0 1 t (e i 0

+ 3 sin tj)dt

+ e−t j)dt

5. Hallar r(t) con las condiciones dadas a) r (t) = 4e2t i + 3et j y r(0) = 2i √ b) r (t) = −32j, r (0) = 600 3i + 600j, r(0) = 0 6. Sea F (t) =f (u(t)). Encuentre F (t) si a) f (u) = cos ui + e3u j y u(t) = 3t2 − 4 b) f (u) = u2 i + sin2 uj y u(t) = tan t 7. Pruebe que r(t) es constante si y s´lo si r(t).r (t) = 0 o 8. Un proyectil sedispara desde el origen formando una angulo θ respecto al eje x ´ positivo, y con una velocidad inicial ν0 metros por segundo. Sin tomar en cuenta la fricci´n determine expresiones para la velocidad ν(t) yla posici´n r(t) y, muestre o o que la trayectoria es una par´bola. a 9. Sean r(t) ∈ R3 una funci´n vectorial dos veces diferenciable y B ∈ R3 un vector o fijo con ||B|| = 4 y tal que r(t) × B = 4tipara todo t. Si el vector r (t) es perpendicular al vector B. Determine si los vectores r (t) y r (t) son perpendiculares. 10. Una part´ ıcula se desplaza a lo largo de la rama superior de una hip´rbolae y 2 − x2 = 9, tal que la componente horizontal del vector velocidad es 3. Determine el vector velocidad y el vector aceleraci´n en el instante t = 2 en que la o part´ ıcula est´ en el punto P...