Funciones Vectoriales

Definición:
Una función [pic], donde [pic] es un intervalo en [pic], se llama función vectorial de variable real en[pic][pic] .

• Si [pic] tenemos que [pic], donde [pic], [pic] y [pic]sonfunciones reales de dominio [pic] a las que se le llama funciones coordenadas de [pic].
• Muchas de las propiedades de la función [pic] son consecuencia de las características de las funcionescoordenadas como veremos a continuación.

Definición límite finito: Sea [pic]I intervalo en [pic], [pic] y [pic][pic] , definimos[pic]
Siendo [pic]norma (siempre que no se especifique será la normaeuclidiana) de [pic].












Teorema 1: Sea [pic][pic] entonces[pic] para [pic]; y recíprocamente, si [pic] para [pic], entonces [pic].

Demostración:

Directo: Si [pic]tal que[pic],[pic].
Como [pic]

Así se tiene que:

[pic]


Recíproco: como [pic] para [pic][pic]
[pic].
Para este [pic][pic]

[pic]

[pic]


Definición de continuidad

Sea [pic] y [pic]diremos que [pic] es continua en [pic] [pic].

Es decir: [pic]


Es condición necesaria y suficiente para que [pic] sea continua en [pic], que lo sean cada una de las funciones coordenadas, loque demostraremos en el siguiente teorema:

Teorema 2: Sea [pic] [pic] intervalo en [pic], [pic], sean [pic] sus funciones coordenadas, entonces, [pic] es continua en [pic] si y sólo si susfunciones coordenadas son continuas en [pic].

Demostración:

Directo: [pic] es continua en[pic] entonces [pic]
Aplicando el directo del teorema 1 tenemos que [pic]para [pic]
Por lo tanto [pic] escontinua en [pic] para [pic] por definición de continuidad de funciones reales.

Recíproco: [pic] es continua en [pic] para [pic] entonces [pic]para [pic]
Entonces por el recíproco del teorema 1 [pic]por lo tanto [pic] es continua en [pic]

Definición de función diferenciable en un punto
[pic], [pic] [pic]
[pic]es diferenciable en [pic]

Teorema 3: Si [pic], donde [pic], [pic] y [pic] son...