Funciones

ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL

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Primer Semestre

FUNCIONES (1)
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Universidad de Concepción
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Relaciones Binarias
RELACION Dados dos subconjuntos arbitrarios A y B no vacíos, una relación binaria R es una correspondencia entre los elementos de A y B, la cual se representa por un subconjunto de paresordenados R ⊆ A × B. Si (a, b) ∈ R diremos que a está relacionado con b y escribiremos aRb: El conjunto {(a, b) : (a, b) ∈ R} forma la representación gráfica de R. Dominio de R: Dom(R) = {a ∈ A : ∃ b ∈ B ∧ (a, b) ∈ R} Recorrido de R: Rec(R) = {b ∈ B : ∃ a ∈ A ∧ (a, b) ∈ R} La representación R−1 = {(b, a) ∈ B × A : (a, b) ∈ R} define la relación inversa de R, y se denota R−1 .
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aRb ⇐⇒ (a, b) ∈ RRelaciones Binarias
EJEMPLOS Sea R la relación cuya representación está dada por: R = {(2, 1), (2, 2), (2, 3)}. Se tiene que Dom(R) = {2}, Rec(R) = {1, 2, 3}.

Para A = {1, 2, 3} y B = {1, 4}, sea R la relación definida por aRb ⇐⇒ a + b ≤ 5, a ∈ A, b ∈ B. Rec(R) = B.

Así R = {(1, 1), (1, 4), (2, 1), (3, 1)}, R definida por: aRb ⇐⇒

Dom(R) = A, a2 + b2 ≤ 1

R = {(a, b) ∈ R×R : a2 +b2 ≤ 1},Dom(R) = [−1, 1], Rec(R) = [−1, 1].
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Funciones
FUNCION Diremos que la relación R representada por R ⊆ A × B, es una función f de A en B, si y sólo si: se escribirá y = f (x).   f : A −→ B La relación f se describe por  x −→ y = f (x) Notación: y x A B R (variable dependiente) (variable independiente) DOMINIO de f CODOMINIO de f GRAFICO de f es la IMAGEN de x a través de f es una PRE-IMAGENde y porf A = Dom(f ) B = Cod(f ) Gr(f ) = {(x, y) ∈ A × B : y = f (x)}.
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xRy

∀ x ∈ A, ∃ ! y ∈ B : (x, y) ∈ R

Funciones
Igualdad de Funciones Decimos que las funciones f :A −→ B y g:C −→ D

x −→ f (x) = y

x −→ g(x) = y

son iguales, si tienen igual dominio, igual codominio y son iguales punto a punto en la imagen. Esto es: f =g ⇐⇒ [(A = C) ∧ (B = D)] ∧ (∀x ∈ A : f (x) = g(x))5

Funciones
Conjunto Imagen Sea f : A −→ B una función y X ⊆ A. La imagen de X por f se define por: f (X) = {y ∈ B : ∃ x ∈ X, y = f (x)}

= {f (x) : x ∈ X} Notación: Rec(f ) = f (A)

Imagen Recíproca o Pre-Imagen Sea f : A −→ B una función y Y ⊆ B. La pre-imagen o imagen recíproca de Y por f se define por: f −1 (Y ) = {x ∈ A : ∃ y ∈ Y , y = f (x)}
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= {x ∈ A : f (x) ∈ Y }Funciones
Algunas Propiedades de f (X) y f −1 (Y ) Sea f : A −→ B una función, X ⊆ A y Y ⊆ B. ˜ ˜ X ⊆ X ⊆ A =⇒ f (X) ⊆ f (X) f (X f (X ˜ X) ⊆ f (X) ˜ f (X) ˜ X) = f (X) ˜ f (X)

f −1 (B) = A ˜ ˜ Y ⊆ Y ⊆ B =⇒ f −1 (Y ) ⊆ f −1 (Y ) f −1 (Y f −1 (Y ˜ Y ) = f −1 (Y ) ˜ Y ) = f −1 (Y ) ˜ f −1 (Y ) ˜ f −1 (Y )

f −1 (f (X)) ⊇ X f (f −1 (Y )) ⊆ Y
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Funciones
Función Sobreyectiva Una función f : A −→B es sobreyectiva si y sólo si : f (A) = B , (es decir, Rec(f ) = B)

∀ y ∈ B, ∃ x ∈ A : f (x) = y

En términos de resolver una ecuación :   la ecuación f (x) = y ∀y ∈ B :  admite solución en A
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Funciones
Función Inyectiva Una función f : A −→ B es inyectiva si y sólo si : ∀y ∈ f (A), ∃ ! x ∈ A : f (x) = y

∀x1 , x2 ∈ A : f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2

∀x1 , x2 ∈ A : x1 = x2 =⇒ f(x1 ) = f (x2 )

∀ y ∈ f (A) :

la ecuación f (x) = y tiene solución única en A

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Funciones
Observación f : A → B no es inyectiva ⇐⇒ ∃ x1 , x2 ∈ A : x1 = x2 ∧ f (x1 ) = f (x2 ) Función Biyectiva Una función f : A −→ B es biyectiva si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva, es decir: ∀y ∈ B, ∃ ! x ∈ A : f (x) = y

∀y ∈ B :

la ecuación f (x) = y tiene solución única en A
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Función Inversa Sea f : A −→ B una función biyectiva. La función g:B y −→ A

−→ g(y) = x, donde

g(y) = x si y sólo si f (x) = y se llama función inversa de f y se escribe g = f −1 .

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Funciones Reales
Observación A funciones f : A ⊆ R −→ B ⊆ R les llamaremos Funciones Reales. Observación Dada una relación R, nos interesa encontrar el mayor subconjunto A de R de modo que R...