Funciones

Capítulo 2

Funciones reales de una variable real. Generalidades
2.1. Primeros conceptos
2.1.1. Funciones. Clases particulares de funciones
Recordemos que una aplicación f : A → B se define en términos conjuntistas como una terna (A, B, G f ), donde A, B son conjuntos dados, llamados respectivamente el dominio y el codominio o conjunto final de f , y G f , denominado gráfico o gráfica de f , esun subconjunto del producto cartesiano A × B tal que para todo x ∈ A existe un elemento único y ∈ B de modo que (x, y) ∈ G f (ese elemento y unívocamente asociado a x suele denotarse por f (x) y se llama valor de la aplicación f en el punto x o imagen de x por f ). Definición 2.1.1. Una función real de variable real es una aplicación f : A → B con A, B ⊆ R. Informalmente, dar una función f suponedar: a) su dominio de definición A = dom f ; b) su codominio B (al que habitualmente prestaremos menor atención en este curso); c) una regla de correspondencia o regla de definición que permita asignar inequívocamente a cada elemento x de A, sin excepción, un elemento f (x) de B perfectamente determinado por x y f. Cambiar una cualquiera de estas tres cosas (el dominio, el conjunto final o la regla dedefinición) hace que la función cambie. Por ejemplo, si tenemos una función f : A → B y consideramos un subconjunto S de A, la restricción de f a S es la función f |S : S → B tal que f |S (x) = f (x) para cada x ∈ S, que no es la misma función f (se ha cambiado el dominio), aunque venga dada por la misma regla de correspondencia (a cada x de S, la restricción f |S hace corresponder el mismo valorque f ). En la práctica raras veces se muestra una función como una terna, tal como requeriría su definición formal: lo habitual es especificar su dominio y la regla que permite determinar el valor de la función en cada elemento del dominio (ver los comentarios de [BARTLE -S HERBERT, sec. 1.2, págs. 22–25]). En cuanto al conjunto final de una función, cuando no se mencione explícitamente sesobrentenderá que dicho conjunto es R. 17

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Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades

Suele chocar al principiante que a veces la regla de definición de una función aparece dividida en varias subreglas parciales (expresadas habitualmente mediante fórmulas), tendiendo a interpretar incorrectamente que se han definido tantas funciones como subreglas se enuncien. Por ejemplo,la función f : R → R tal que x, si x ≥ 0; f (x) = −x, si x < 0, es una sola función, la función valor absoluto, y no dos funciones, aunque sus valores coincidan en parte de su dominio (no en todo) con los que toman las dos funciones distintas g : x ∈ R → g(x) = x ∈ R y h : x ∈ R → h(x) = −x ∈ R. Dada una función f , emplearemos la expresión « f está definida en S» como sinónimo de que S es unsubconjunto de dom f . El dominio de f es, en este sentido, el mayor subconjunto de R en el que f está definida. Definición 2.1.2. Sea f una función con dominio A y sean S ⊆ A, T ⊆ R. Llamamos conjunto imagen de S por f al conjunto f (S) = { f (x) : x ∈ S}, y conjunto antiimagen de T por f al conjunto f −1 (T ) = {x : f (x) ∈ T }, que será un subconjunto (eventualmente vacío) de A. El conjunto imagen deldominio de f suele denominarse, simplemente, conjunto imagen de f o rango de f , y se denota a veces im f o rang f ; por tanto, se tiene im f = f (dom f ) = { f (x) : x ∈ dom f }. Una función f se dice inyectiva si elementos distintos de su dominio tienen siempre imágenes distintas: es decir, si dados x, y ∈ dom f , de x = y se sigue f (x) = f (y); o, equivalentemente, si dados x, y ∈ dom f , de f(x) = f (y) se sigue x = y. Una función f : A → B se dice suprayectiva si f (A) = B, o sea, si el conjunto final y el conjunto imagen de f coinciden; dicho de otra forma, si cada elemento de B es imagen de algún (o algunos) elemento(s) de A. Una función se dice biyectiva si es simultáneamente inyectiva y suprayectiva. Ejemplos. La función identidad id : x ∈ R → id(x) = x ∈ R es trivialmente...