Funciones

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES
1. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los extremos relativos de las siguientes funciones:
a) f ( x ) = 7 x 3 + 3 x + 1

b)f ( x ) =

⎧ 3 − 5x
⎪
c) f ( x ) = ⎨ 2
⎪3x − 5
⎩

ln x
x

si x < 1
si x ≥ 1

Solución
a) La función f (x ) = 7 x 3 + 3x + 1 es derivable en su dominio, D = (-∞, +∞), por ser un polinomio y
su derivada es f ′( x ) = 21x 2 + 3 .
Para determinar el crecimiento y decrecimiento de f, se estudia el signo de f ′( x ) que en este caso
es siempre positivo, por tanto, f es estrictamentecreciente en (-∞, +∞) y no tiene máximos ni
mínimos relativos.
b) La función f ( x ) =

ln x
es derivable en su dominio, D = (0, +∞), y su derivada es:
x
1
x − ln x
1 − ln x
f ′( x ) = x
=
.
2
x
x2

El signo de f ′( x ) depende del signo de su numerador ya que el denominador es siempre positivo. El
signo de 1 − ln x cambia en los puntos que lo anulan: 1 − ln x = 0

⇒

ln x = 1⇒

x=e

Se divide el dominio en los dos intervalos determinados por x = e y se estudia el signo de f ′( x ) en
cada uno de ellos, obteniéndose:
• En (0, e), se verifica ln x < 1 , por tanto f ′( x ) > 0, y por ello f es estrictamente creciente.
• En (e, +∞), se verifica ln x > 1 , por tanto f ′( x ) < 0, y por ello f es estrictamente decreciente.
De lo anterior se deduce que en x = e lafunción cambia de estrictamente creciente a estrictamente
decreciente, por tanto, f tiene un máximo relativo estricto en dicho punto.
⎧ 3 − 5x
⎪
c) Como la función f ( x ) = ⎨ 2
⎪3x − 5
⎩

si x < 1
si x ≥ 1

está definida a trozos, su estudio se realiza por

separado en cada uno de los intervalos en los que tiene distinta definición:
• En (-∞, 1), f ′( x) = -5 < 0, luego f esestrictamente decreciente.
• En (1, +∞), f ′( x ) = 6x > 0, luego f es estrictamente creciente.
En x = 1, la función cambia de estrictamente decreciente a estrictamente creciente, como además f
⎛
⎞
es continua en x = 1 ⎜ lim f (x) = lim 3x2 − 5 = −2 , lim f ( x) = lim (3 − 5x ) = −2 y f (1) = -2 ⎟ , se
+
+
−
−
x →1
x →1
x →1
⎝ x →1
⎠

(

)

deduce que f tiene un mínimo relativo endicho punto.

© Proyecto de innovación ARAGÓN TRES

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Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

2. Hallar, si existen, las asíntotas de la función f ( x ) = xe

1

x

Solución

• Asíntotas verticales
El único punto en el que lafunción no está definida es x = 0, por tanto es punto de discontinuidad
de f y candidato a determinar una asíntota vertical. Para comprobarlo se calculan los límites
laterales cuando x tiende a 0.
lim f ( x ) = lim xe

x →0

+

x →0

1

x

= 0e

+

como sigue: lim xe

1

1

0+

= 0 e+∞ = ⎡0(+∞)⎤ , para resolver esta indeterminación se procede
⎣
⎦
1

x

x → 0+

e
+1
x →0
x

= lim

−

x

=

lim

(L'Hôpital) x → 0+

1

1
x

ex

2

−

1
x

1

1
+
= lim e x = e 0 = e +∞ = +∞
x → 0+

2

1

1

−
lim f ( x ) = lim xe x = 0 e 0 = 0 e −∞ = 0.0 = 0

x → 0−

x → 0−

Por tanto, se concluye que la recta x = 0 es asíntota vertical de f por la derecha y no lo es por la
izquierda.
• Asíntotas horizontales
Cuando xtiende a +∞: lim f ( x ) = lim xe
x →+∞

1

1

= +∞ e +∞ = +∞ e0 = +∞ 1 = +∞ , luego, no existe

x

x →+∞

asíntota horizontal en esta dirección.
Cuando x tiende a -∞: lim f ( x ) = lim xe
x →−∞

x →−∞

1

x

= −∞ e

1

−∞

= −∞ e0 = −∞ 1 = −∞ , luego, tampoco existe

asíntota horizontal en esta dirección.
• Asíntotas oblicuas
Son de la forma y = m x + n y al no...