Funciones

Funciones, x, y, gráficos

Vamos a ver los siguientes temas: funciones, definición, dominio, codominio, imágenes, gráficos, y algo más. Recordemos el concepto de función: Una función es una relación entre dos conjuntos de cosas, personas, equipos, números. Desde un punto de vista formal, se dice que f es una función o aplicación de A en B y se denota

Para que una relación entre dos conjuntosA y B sea una función escalar de A en B, siendo A y B números reales, deben cumplirse dos condiciones: Existencia: cualquiera sea x de A , existe y de B tal que y = f(x). f(x)= y 1 y Unicidad: f ( x ) = y entonces y = y 2 1 2 si

Observá atentamente los gráficos de las siguientes curvas, tratá de descubrir las similitudes y las diferencias. Después tratá de decir cuál de ellas crees queverifica la definición de función dada arriba.

y

y

y

x x

x

x=a

x=a

x=a

Te ayudo aclarando los conceptos de “unicidad” y “existencia”. La “unicidad” significa que para todas las “x” hay un solo resultado, o dicho de otro modo a cada valor de “x” le corresponde un solo punto en la curva. La “existencia” significa que todas las “x” deben tener un punto en la curva, si hay alguna“x” que no lo tiene entonces no es función. Tratá de responder antes de seguir leyendo.

No es función
Al mover una recta paralela al eje "y" (vertical) observamos que corta la curva en un punto, en dos puntos y cuando x = a en tres, luego podemos decir que no cumple la condición de unicidad porque cuando x = a tiene tres imágenes (resultados).

x=a Es función Al mover una recta verticalparalela al eje "y" corta al gráfico en un solo punto, por que cumple la condición de unicidad. Y además, cada x tiene imagen, es decir verifica la condición de existencia.

x=a

NO es función Al mover la recta vertical hay un intervalo donde no corta al gráfico, es decir no cumple la condición de existencia,

aunque como cuando la corta lo hace en un solo punto decimos que verifica la unicidad.x=a La única que resultó cumplir las condiciones de “existencia” y “unicidad” fue la curva roja. Esto significa que a cada elemento a de A, le corresponde por f un elemento b, y solo uno, de B, al que se denomina imagen de a por f y que se denota . Recordemos el concepto de dominio: El dominio es el conjunto valores numéricos que puede tomar la “x”. Analicemos algunos ejemplos: Si tenemos f ( x)= x 2 +1 , la “x” puede ser cualquier número, porque a todo número lo podemos elevar al cuadrado y sumarle 1, entonces decimos que su dominio son todos los números reales Y escribimos su dominio es . Si tenemos f ( x ) = 3 x 5 , la “x” también puede tomar cualquier valor numérico, porque a todo número real lo podemos multiplicar por 3 y restarle 5, su dominio son todos los reales. Y escribimossu dominio es . nos aparece un problemita, ya la “x” no puede valer 1, x 1 porque haría que el denominador fuera igual a 0, y no podemos dividir por 0, por definición de división. Sin embargo cualquier otro número sí podemos atribuirle a la “x”. Por lo tanto decimos que su dominio son todos los reales {1} menos el 1 y escribimos su dominio es Recordemos el concepto de codominio: El codominio es elconjunto de valores donde pueden estar los resultados. Por ejemplo si f ( x )= x 2 +1 los resultados serán siempre números reales. Si tenemos f ( x) =
1

Si f ( x ) = 3 x 5 los resultados serán siempre números reales.

Si f ( x) =

1 x 1

los resultados serán siempre números reales.

Es decir el codominio de funciones con números será los reales. Recordemos el concepto de imagen:Mientras que el codominio es el conjunto de valores donde pueden estar los resultados, la imagen es el conjunto de resultados. Tratemos de aclarar esto con los ejemplos anteriores,
f ( x )= x 2 +1 el codominio es , pero sus resultados siempre serán mayores que 1. Construyamos una tabla con valores de “x” y sus resultados:

x
0 2 2 4 4

y = f(x) = x 2 + 1
02 + 1 = 1 2 2 +1=5 (-2 )2 +1=5 4 2...