Funciones

Funciones algebraicas
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Las funciones algebraicas pueden ser:
Funciones explícitas
Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
f(x) = 5x − 2
Funciones implícitas
Si no se pueden obtener lasimágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.
5x − y − 2 = 0
Funciones polinómicas
Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn

Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.

La función constante 
La función constante es del tipo:
y = n
El criterio viene dado por un número real.
Lapendiente es 0.
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Rectas verticales
Las rectas paralelas al eje de ordenadas no son funciones, ya que un valor de x tiene infinitas imágenes y para que sea función sólo puede tener una. Son del tipo:
x = K

El criterio viene dado por un número real.
f(x)= k
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.Funciones polinómica de primer grado
f(x) = mx +n
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.
La función afín es del tipo:
y = mx + n
m es la pendiente de la recta.
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.
Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de larecta con el eje de ordenadas.

Ejemplos de funciones afines
Representa las funciones:
1 y = 2x - 1
x | y = 2x-1 |
0 | -1 |
1 | 1 |

2y = -¾x - 1
x | y = -¾x-1 |
0 | -1 |
4 | -4 |

La función lineal 
La función lineal es del tipo:
y = mx
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.
y = 2x
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
y = 2x | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |Pendiente
m es la pendiente de la recta.
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.
Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

Función identidad
f(x) = x
Su gráfica es la bisectriz delprimer y tercer cuadrante.

Función identidad
f(x) = x
Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Funciones cuadráticas
f(x) = ax² + bx +c
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
Representación gráfica de la parábola
Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:
1. Vértice

Por el vértice pasa el eje de simetría de laparábola.
La ecuación del eje de simetría es:

2. Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:
ax² + bx +c = 0
Resolviendo la ecuación podemos obtener:
Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0
Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0
Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0
3. Punto de corte con el eje OY
En el ejede ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:
f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c        (0,c)

Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.
1. Vértice
x v = − (−4) / 2 = 2     y v = 2² − 4· 2 + 3 = −1       
 V(2, −1)
2. Puntos de corte con el eje OX
x² − 4x + 3 = 0
       
(3, 0)      (1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY
(0, 3)

Funciones a trozos
Son funcionesdefinidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

El dominio lo forman todos los números reales menos el 4.
Función parte entera de x
Es una función que a cada número real hace corresponder el número entero inmediatamente inferior.
f(x) = E (x)
x | 0 | 0.5 | 0.9 | 1 | 1.5 | 1.9...