Funciones

C´lculo I – Funciones a
Dr. Juli´n Gpe. Tapia Aguilar a juliangpe@prodigy.net.mx Septiembre de 2010

´ Indice 1. Funciones

El concepto b´sico de an´lisis, en C´lculo, es el de funci´n concepto que captura la noci´n de corresa a a o o pondencia entre elementos de dos conjuntos. Por ejemplo, podemos notar las siguientes correspondencia, Un libro, y su n´mero de p´ginas. u a Una persona, y eln´mero de d´ vividos. u ıas La temperatura, y la hora en un d´ y un punto determinado. ıa Formalmente, Definici´n 1.1 (Funci´n) Una funci´n f de un conjunto A a otro conjunto B es una correspondencia que o o o asigna a cada elemento x ∈ A un unico elemento en y ∈ B. Para representar esta idea es usual escribir, ´ f : A −→ B. Las componentes de una funci´n son, o El Dominio, representado por elconjunto A. El Codominio, representado por el conjunto B. La Regla de Correspondencia, usualmente dada por una ecuaci´n, que escribimos como, o y = f (x), precisando la unica asignaci´n, ´ o que llamaremos la imagen de x bajo la funci´n f , o simplemente la imagen de x. o
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(1)

x −→ y = f (x),

f

f

1

y = f (x) B

A

x r

r

Figura 1: Una funci´n f : A → B representa la correspondencia entre dos conjuntos A y B. o 1

C´lculo – JGTA a2

Definici´n 1.2 (El Rango o Recorrido,) de una funci´n f es el subconjunto de B consistiendo de los o o valores y = f (x), cuando x recorre todo el dominio A. Esto es, Rf = {y ∈ B | y = f (x), para alguna x ∈ A} ⊂ B. De hecho, el rango o recorrido de la funci´n f es la imagen del dominio A, bajo f . Escribimos, o Rf = f (A) ⊂ B. Hecho 1.1 En nuestro curso de C´lculo, que trata de funcionesreales (la y) de variable real (la x) los a conjuntos A y B son subconjuntos de R, pudiendo ser todo R.
f

O x r

....... .............. ..... ....... .... .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .

O y = f (x) - y r

-x ^

Figura 2: Una funci´n f : R → R representa la correspondencia entre dos intervalos en la linea real R. o Dominio Natural En C´lculo, es usualdefinir una funci´n via el siguiente enunciado, a o Sea f una funci´n real definida por y = f (x),. . . o omitiendo especificar el dominio. Entonces el dominio de la funci´n se toma como el dominio natural; esto es, los valores x ∈ R, para los o cuales la y = f (x) existe y est´ bien definida en R; esto es, a Df = {x ∈ R | y = f (x), est´ bien definida en R.}. a Ejemplo 1 Considere la funci´n definida por laecuaci´n, o o √ f (x) = 2x − 7. (2)

(3)

Entonces, como no se ha especificado cual es el dominio, tendremos que el dominio natural de esta funci´n o √ son los valores x ∈ R para los cuales la imagen y = 2x − 7 existe. Aqu´ hay que recordar que la ra´ ı ız cuadrada de un n´ mero existe y es un n´mero real si y s´lo si el radicando es no-negativo. Esto es, u u o ξ ∈ R si y s´lo si ξ o Entonces,Df = = = {x ∈ R | y = 7 , +∞ . 2 √ 2x − 7, existe} 0} = {x ∈ R | x 0.

{x ∈ R | 2x − 7

7 } 2

C´lculo – JGTA a Ejemplo 2 Considere la funci´n definida por la ecuaci´n, o o f (x) = 3x + 2 . x2 − 9

3

(4)

El dominio natural de esta funci´n son los valores x ∈ R para los cuales la imagen o y= 3x + 2 , x2 − 9

existe y es un n´mero real. u En claro, que la expresi´n anterior s´lo...