Funciones

FUNCIONES REALES
Antes de iniciarnos en el desarrollo del cálculo necesitamos ponernos de acuerdo en algunas notaciones y en revisar algunos conceptos muy generales que son propios de toda teoría matemática.
Recordemos que un axioma es una posición que toma por convención, admitimos que es verdadero, sin el requisito de una demostración. En cambio un teorema, es una proposición, cuyaveracidad requiere de una demostración o prueba.
La gran mayoría de los teoremas que encontramos más adelante tiene la forma de una proposición condicional:
Si H, entonces T.
Que se simboliza así: H → T. Aquí H es la hipótesis y T la tesis.
Una demostración o prueba de un teorema es una secuencia de proposiciones que terminan con la tesis, donde cada paso de la secuencia esuna hipótesis, un axioma o un teorema previamente demostrado.
A la reposición bi-condicional:
P si y solo si Q.
Lo simbolizamos así: P↔Q.
Una posición bi-condicional P↔Q, como su nombre lo sugiere, es la conjunción de dos proposiciones condicionales: P → Q y Q → P.
Toda definición, aunque a veces no se lo exprese explícitamente, s una proposición bi-condicional.Algunos teoremas tienen la forma bi-condicional, P↔Q. En este caso, en realidad estamos al frente de dos teoremas: P↔Q y Q↔P. Esto significa que para probar P↔Q, debemos aportar dos demostraciones, la de P→Q y la de Q→P.
En esta exposición nos encontramos con muchos teoremas, unos más importantes que otro A los teoremas de los cuales pensamos que no son tan relevantes, los llamamos simplementeproposiciones.
Con frecuencia, con el ánimo de simplificar la escritura, usaremos los siguientes símbolos.
1. ∀, que significa: Para todo.
2. ∃, que significa: Existe.
3. ∃!, que significa: Existe y es única.
4. ˄, que significa: y (Conjunción lógica).
5. ˅, que significa: o (Disyunción lógica).
Funciones reales.
Una función es una triada de objetos (X, Y, f), donde X e Y sondos conjuntos y f es una regla que hace corresponder a cada elemento de X un único elemento de Y. al conjunto de X se le llama dominio de la función y al conjunto de Y, conjunto de llegada de la función.
A una función (X, Y, f) se le denota
Más comúnmente por:
f: X→Y o X →ᶠ Y
y se lee: “ la función f de X en Y”
Para indicar que a un elemento x de X, f le ase corresponder elelemento de y de Y, se escribe así: y =f(x), lo cual se lee y = f(x).También diremos que y es el valor que toma f en x o que y es la imagen de x mediante f. el elemento x, en este caso, es una pre-imagen del elemento y.
En la variable que usamos para denotar los elementos del dominio se llama variable independiente y a la variable que denota las imágenes, variable dependiente. En nuestranotación anterior, y = f(x), la variable independiente es x y la variable dependiente es y. Las letras x e y, por ser variables, pueden ser variables cambiadas por cualquier otro par de letras. Así podemos escribir z = f(t), en cuyo caso la variable independiente es t y la independiente es z.
Dadas las funciones f : X→Y y g: X→Y. diremos que:
f = g ↔ f(x) = g(x), ∀ x € X
El rango de lafunción f: X→Y es el conjunto formado por todas las imágenes esto es.
Rango de f = { f(x) ∊ Y / x ∊ X}
Al dominio y al rango de una función f: X→Y los abreviamos con Dom(f) y Rang(f) respectivamente.
EJEMPLO 1.
Sea la función f: X→Y, donde X = {a, b, c, d}, Y= {1, 2, 3, 4, 5} y cuya regla f está dada por el gráfico adjunto. Se tiene:
Dominio = Dom(f) = X = {a, b, c, d}
Conjunto dellegada = Y = {1, 2, 3, 4, 5}
Rango = Rango (f) = {3, 4, 5}
La regla f esta que: f(a) = 3, f(b) = 5, f(c) = 3, f(d) = 4
Las funciones que nos interesan en el curso de cálculo son las funciones reales de varíales real. Una funciones real de variable real es una funciones cuyo dominio y cuyo conjunto de llegaba son subconjuntos de . Así, son funciones de este tipo:
a f: →...