Funciones

FUNCIONES

Febrero 2012

Una operación de gran importancia para el estudio de las relaciones matemáticas es “El Producto Cartesiano” entre dos conjuntos. Suponga un conjunto A= {a1, a2, a3, …, an} y un conjunto B= {b1, b2, b3, …, bn}. Su producto cartesiano se define como:

A x B= {(a1, b1), (a1, b2), (a1, b3), … , (a1, bn), (a2, b1), (a2, b2), (a2, b3), … , (a2, bn), (a3, b1), (a3, b2),(a3, b3), … , (a3, bn), (an, b1), (an, b2), (an, b3), … , (an, bn)}

A

B

a1 a2 a3 … an

b1 b2 b3 … bn

Una relación matemática será entonces una regla de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos, es decir, un subconjunto del producto cartesiano.

A a1 a2 a3 … an b1 b2 b3 … bn

B

Al conjunto ordenado de parejas de la forma (x,y) de las variables X y Y, en el cualdos parejas distintas no pueden tener el mismo primer elemento es a lo que llamaremos: “Función”.

En esta relación ningún mismo primer elemento se repite, por lo tanto es una función…
R= {(x1, y1), (x2, y1), (x3, y2), (x4, y3), (x5, y3), (x6, y5), …}

En esta relación se repite el mismo primer elemento, por lo tanto no es una función…

R= {(x1, y1), (x1, y2), (x1, y3), (x2, y2), (x2, y3),(x2, yn), (x3, y1), (x3, y3)}

Al primer elemento de cada pareja (abscisa) se le llama “variable independiente x” y al segundo elemento (ordenada) se le llama “variable dependiente y”

A todos los valores que puede tomar x se le llama “Dominio (Dom)” y a los valores que puede tomar y se le conoce como “Rango (Ran)”.

Con base en lo anterior, una función también puede ser una regla decorrespondencia que asocia a los valores del dominio (x), con uno y sólo uno valores del rango (y). La notación de una función es:

y= f(x)
Es decir, el valor de la variable dependiente y esta en función (depende) del valor de la variable independiente x.

En este caso y no es función de x.

En este caso y es función de x.

Tipos de Funciones
Algebraicas FUNCIONES
Trascendentales Constante,Lineal, Polinomiales, Raíz Cuadrada

Exponencial, logarítmica, Trigonométrica: sen, cos, tan

Especiales

Valor Absoluto, Racionales

Función Constante
Sea un valor “c” ϵ R, definiendo a ������ ������ = ������, ∀ ������ ∈ R Ejemplo:

������ ������ = 4

Dom f= R Ran f= {4}

Ejemplo de función escalonada constante : −2, ������������ ������ < 0 2, ������������ 0 ≤ ������ ≤ 2 ������������ = 4, ������������ ������ > 2

Dom f= R Ran f= {-2, 2, 4}

Función Lineal
La función lineal definida como ������ ������ = ������������ + ������, es una recta con pendiente a y ordenada al origen b, cuyo dominio y rango son todos los reales.

Ejemplo:

������ ������ = ������

���������������������������������� ������������������������������������������������������

Dom f = RRan f = R

Función Lineal
Ejemplo: ������ ������ = 2������ + 1

Dom f = R Ran f = R

Función Polinomial
La forma general de la función polinomial de grado n, con n entero positivo, definida ∀������, es: ������ ������ = ������0 + ������1 ������ + ������2 ������ 2 + ������3 ������ 3 + ⋯ + ������������ ������ ������ , con dominio en todos los reales.

Ejemplo:

������ ������ = ������ 2Dom f = R Ran f = [0, ∞)

Función Polinomial
Actividad: Graficar en Geogebra y discutir los resultados de las siguientes funciones: Potencias impares: ������ = ������, ������ = ������ 3 , ������ = ������ 5 , ������ = ������ 7 Potencias pares: ������ = ������ 2 , ������ = ������ 4 , ������ = ������ 6 , ������ = ������ 8 Curvas similares: ������ = ������ 2 , ������ = 2������ 2 , ������ = 4������ 2Curvas similares: ������ = ������ 3 , ������ = 3������ 3 , ������ = 6������ 3 Coeficiente negativo: ������ = −������ 2 , ������ = −2������ 2 Exponente Negativo: y = ������ −2 , ������ = ������ −3

Función Raíz Cuadrada
Aquellas que contienen raíces cuadradas √ que pueden expresarse con exponente a la ½ y que existen como tales para valores positivos.

Ejemplo:

������ ������ = ������...