FUNCIONES

Función creciente

Una función f (x) es creciente en un intervalo (a, b) si satisface que

Si una función es creciente en (a, b) entonces

En efecto, si h > 0 y nos aproximamos por la derecha de x

y si h > 0 y nos aproximamos por la izquierda de x

En cualquier caso, la derivada es no negativa. Por lo demás es un resultado intuitivamente cierto toda vez que la derivada en un punto esla pendiente de la recta tangente a dicho punto.
























Función decreciente


Una función f (x) es decreciente en un intervalo (a, b) si satisface que


Si una función es decreciente en (a, b) entonces


En efecto, si h > 0 y nos aproximamos por la derecha de x


y si h > 0 y nos aproximamos por la izquierda de x


En cualquier caso, laderivada es no negativa. Por lo demás es un resultado intuitivamente cierto toda vez que la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a dicho punto.



Función continua


 

 

 

 

 

 
Si alguna de las tres condiciones no se cumple, la función es discontinua en x0.
 
Se dice que una función es continua en un intervalo cuando es continua en todos los puntos delintervalo.
 



Funciones discontinua

Una función es discontinua si tiene puntos en los cuales una pequeña variación de la variable independiente produce un salto en los valores de la variable dependiente.

A estos puntos se les denomina puntos de discontinuidad.

Los puntos de discontinuidad pueden ser de dos tipos:
* Puntos en los que la función no está definida, es decir, lospuntos que no pertenecen al dominio de la función, gráfica a.
* Puntos en los que la gráfica presenta un salto, gráfica b.

1) Si el límite no existe o es infinito entonces la función es discontinua
Si el límite existe hay que compararlo con el valor asignado a la función en ese punto.

2) Si son iguales entonces la función es continua.

3) Si son distintos la función es discontinua

Eneste caso se dice que es una discontinuidad evitable.



Funciones Inyectivas
          
         Sea  f una función definida de A a B                        f: A  → B, x,y∈ A                                                                                
                                                                                                                                   ∀x ∀ y(f(x)= f (y) → x = y)

f es 1-1 o Inyectiva  si sus pre imágenes son únicas, es decir                   Si x ≠ y  entonces f(x) ≠ f(y)

Una función f entre los conjuntos A y B se dice que es inyectiva, cuando cada elemento de la imagen de f lo es, a lo sumo, de un elemento de A. Suele decirse también que la función es uno-a-uno. Dicho de otra forma:

f :A −→ B es inyectiva ⇐⇒ ∀a1, a2 ∈ A [a1=6 a2 =⇒ f(a1) =6 f(a2)]

La “mejor forma” de probar en la practica la inyectividad de una función es utilizar la contra reciproca,
es decir,

f :A −→ B es inyectiva ⇐⇒ ∀a1, a2 ∈ A [f(a1) = f(a2) =⇒ a1 = a2]

En la figura anterior f es inyectiva y g no lo es.

Ejemplo: Determinar si la función f :R −→ R tal que f(x) = x + 2 es inyectiva.

Solución
En efecto, sean x1 y x2 dos númerosreales cualesquiera, entonces 

                                                                                         f(x1) = f(x2) =⇒ x1 + 2 = x2 + 2 =⇒ x1 = x2      luego f es inyectiva.
















Función Biyectiva


 Una función f entre los conjuntos A y B se dice que es biyectiva, cuando es, a un tiempo, inyectiva y suprayectiva.

Ejemplo: Sea f :A −→ B tal que A =B = R y f(x) = 2x − 3, ∀x ∈ A. ¿Es biyectiva?

Solución
Veamos si es inyectiva y suprayectiva.

(a) Inyectiva. Sean x1 y x2 dos n´umeros reales arbitrarios. Entonces,
f(x1) = f(x2) =⇒ 2x1 − 3 = 2x2 − 3 =⇒ 2x1 = 2x2 =⇒ x1 = x2
luego f es inyectiva.

(b) Suprayectiva. Sea y cualquiera de B. Entonces,

y = 2x − 3 ⇐⇒ 2x = y + 3 ⇐⇒ x = y + 3 /2

luego tomando x = y + 3 / 2, se verifica...