Funciones

ex F.1

FUNCIONS: Corbes de nivell

1. Determina el domini de les funcions que tenen com a definici´
o
anal´
ıtica:
r
p
1
x
c) f (x, y) =
a) f (x, y) = 1 − x + y b) f (x, y) = √
x−y
yd) f (u, v) =

√

u sin v

e) f (x, y) =

x+1
y−2
e

f) f (x, y) =

1
9 − x2 − y 2

2. Dibuixa les corbes de nivell i intenta fer un esbo¸ de la
c
superf´
ıcie donada per lesgr`fiques de les seg¨ ents funcions:
a
u
x
y

a) f (x, y) = x2 − y

b) f (x, y) =

d) f (x, y) = x − y

e) f (x, y) = xy

g) f (x, y) = x

j) f (x, y) =

p

x+y

−y

f) f (x, y) = xe0 ≤ x ≤ 2π , 0 ≤ y ≤ 3

h) f (x, y) = sin x

i) f (x, y) = y 2

c) f (x, y) =

0 ≤ x ≤ 2π , 0 ≤ y ≤ 1

− 1 ≤ x ≤ π , −1 ≤ y ≤ 1

p
x2 + y 2

k) f (x, y) = 6 − x − 2y

FonamentsMatem`tics de l’Enginyeria II
a
Yolanda Vidal, Francesc Pozo, N´ria Par´s
u
e

ex F.2

FUNCIONS: Espais euclidians. Entorns.
3. Donat < ·, · > producte escalar en Rn demostra:
a)

Laidentitat de polaritzaci´,
o
< x, y >=

b)

1
( x+y
4

2

− x−y

2

)

La identitat del paral.lelogram,
x+y

2

2

2

2

+ x−y
= 2( x + y )
˘m
¯
4. Sigui A := 2n | m ∈ Z, n ∈N . Demostra que tot punt de R
´s punt d’acumulaci´ del conjunt A.
e
o
5. Si definim en R
d(x, y) :=

|x − y|
1 + |x − y|

demostreu que (R, d) ´s un espai m`tric i vegeu que no existeix
ee
cap norma en R tal que x − y = d(x, y).
6. En l’espai vectorial M2×2 (R) de les matrius reals de dimensi´
o
2 × 2 es defineix
8
9
2

<
si (x, y) = (0, 0)
f (x, y) =
x2 + y 2
>
:
0
si(x, y) = (0, 0)
9. Estudieu el domini i la continu¨
ıtat de la funci´ f : R2 −→ R3
o
definida per:
!
8
«
„
3
p
y
1
>
<
, 2
si (x, y) = (0, 0)
y − 2x2 , ln
1 − x2 − y 2
x + y2
f (x,y) =
>
:
(0, 0, 0)
si (x, y) = (0, 0)

Fonaments Matem`tics de l’Enginyeria II
a
Yolanda Vidal, Francesc Pozo, N´ria Par´s
u
e

ex F.4

FUNCIONS: Diferenciabilitat
10. Siguin f, g...