Funciones

Conjuntos, Relaciones y Funciones
0.1 Conjuntos

El t´rmino conjunto y elemento de un conjunto son t´rminos primitivos y no e e definidos. De un punto de vista intuitivo parece ser que cualquier colecci´n de o objetos puede ser considerado un conjunto. Sin embargo esto no es as´ ya que ı, de lo contrario se llega a paradojas. En general podemos decir informalmente que los conjuntos no puedenser “demasiado grandes”. (El lector interesado puede consultar la referencia: Charles C. Pinter, Set Theory, Addison-Wesley, 1971) De esta manera, siempre supondremos que todos los conjuntos son elementos de un conjunto universal, U . A menudo U no se menciona expl´ ıcitamente, tal como ocurre con el dominio de una funci´n proposicional. o Los conjuntos los denotamos por letras may´sculas: u A, B,C, . . . y los elementos por letras min´sculas u a, b, c, . . . . “a es un elemento del conjunto A”(o “a es un miembro de A” o “a est´ a en A” o “a pertenece a A”) se denota: a ∈ A. Si un conjunto no tiene muchos elementos se pueden escribir todos ellos. Por ejemplo si A es el conjunto con los elementos 1, 2, 3, 4 se indica como: A = {1, 2, 3, 4}. 1

Otra forma de especificar los elementos de unconjunto es dando una regla. Por ejemplo: A = {a : a es un entero y 1 ≤ a ≤ 4} o A = {x : (x − 2)(x − 1)(x − 4)(x − 3) = 0} representan el mismo conjunto. La notaci´n {a : p(a)} se lee: “El conjunto de todos los a tales que p(a) o es verdadero”. Tambi´n se escribe {a / p(a)}. e Note que el orden en el cual se escriben los elementos de un conjunto no es importante.

Definici´n 1 Un conjunto A esigual a un conjunto B, denotado A = B, si o y s´lo si cada elemento de A es un elemento de B y cada elemento de B es o un elemento de A. En simbolos: (A = B) ←→ [(∀ x , x ∈ A −→ x ∈ B) ∧ (∀ x , x ∈ B −→ x ∈ A)] o (A = B) ←→ (∀ x , x ∈ A ←→ x ∈ B).

Ejemplo

{1, 2, 3} = {2, 3, 1} = {x : 1 ≤ x ≤ 3 y x es un entero }. 2

Los siguientes conjuntos son usualmente empleados en matem´tica: a N = {x: x es un n´mero entero x ≥ 1} u = {1, 2, 3, 4, . . .} (Conjunto de los n´meros naturales) u

Z = {x : x es un entero } = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} (Conjunto de los n´meros enteros) u

Q = {

x : x, y ∈ Z, y = 0} y 4 3 2 1 0 1 = {. . . , − , − , − , − , , , . . .} 3 2 1 1 2 3

(Conjunto de los n´meros racionales) u

R = {x : x es n´mero real }. u Definici´n 2 Sean A, B conjuntos.Se dice que A es un subconjunto de B o si y s´lo si cada elemento de A es un elemento de B. Se denota por: o A⊆B En simbolos: A ⊆ B ←→ (∀ x , x ∈ A −→ x ∈ B). Si A no es subconjunto de B, se escribe A propio de B, y se escribe A⊂B ´ o B ⊃ A. B. o ´ B ⊇ A.

Note que A ⊆ A. Si A ⊆ B pero A = B se dice que A es un subconjunto

Si A no es un subconjunto propio de B, se escribe: A⊂ B. / 3

Esposible tener un conjunto sin elementos. Por ejemplo, el conjunto de todos los estudiantes que miden 6 metros. Tal conjunto se llama conjunto vac´o y se denota ∅. En simbolos: ı ∅ = {x : p(x) ∧ ¬p(x)} donde p(x) es cualquier funci´n proposicional. o o Definici´n 3 Sean A, B conjuntos. La uni´n de A y B (denotada A ∪ B) o es el conjunto de todos los elementos que est´n en A o en B. En simbolos: a A ∪ B= {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}. La intersecci´n de A y B (denotada A ∩ B) es el conjunto de todos los o elementos que est´n en A y en B. En simbolos: a A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}. Si A ∩ B = ∅, se dice que A y B son disjuntos. El complemento relativo de A en B (o complemento de A con respecto a B), denotado por B − A (o B A) es el conjunto de todos los elementos en B que no est´n en A. En simbolos: a B A= {x : x ∈ B ∧ x∈ A}. / A = {x : x ∈ U ∧ x ∈ A} = /

Si B es U , el conjunto universal, entonces U

{x : x∈ A} es llamado el complemento de A y se denota Ac (o CU A). / Es util representar la definici´n anterior en t´rminos de Diagramas de Venn: ´ o e
 
A B

 

4

A∩B
 
A B

 

A∪B
 
A B

 

A

B

An´logamente se puede representar, por...