funciones

Cap´
ıtulo 1

Unidad 2: Funciones Reales de una Variable Real

§ 1.1

Definici´n de funci´n de una variable real, dominio y rango
o
o

Definici´n 1.1 (funci´n) Sean A y B subconjuntos de R. Diremos que f es una funci´n
o
o
o
de A a valores en B, si f asocia a un n´mero de A uno y s´lo un valor en B. En este caso
u
o
escribiremos f : A → B.
Ejemplo 1.1 Sean A = {a, b, c, d} y B ={e, f, g, h, }.
1. f (a) = e, f (b) = e, f (d) = h esta regla, o ley es una funci´n. Notemos que f no necesariao
mente asigna a todos los valores del conjunto A un elemento del conjunto B, sin embargo
es una funci´n.
o
Haga un diagrama de esta funci´n.
o
2. f (a) = e, f (a) = g, f (d) = h esta regla, o ley no es una funci´n. Haga un diagrama y
o
explique por que no es una funci´n.
o
3.f (a) = e, f (b) = f, f (c) = g, f (d) = h esta regla, o ley es una funci´n. Haga un diagrama
o
de esta funci´n.
o
Los ejemplos anteriores sugieren que una funci´n no tiene por que estar definida para todos los
o
elementos del conjunto A. Al conjunto A lo llamaremos conjunto de partida y a B conjunto de
llegada. De aqu´ en adelante A = B = R.
ı
Definici´n 1.2 (Dominio) Llamaremos dominio deuna funci´n al conjunto de todos los
o
o
n´meros reales para los cuales la regla o ley tiene sentido en el conjunto de los n´meros reales,
u
u
es decir, los numeros reales que al sustituir en la regla producen un numero real. Al dominio de
una funci´n f usualmente lo denotaremos por Dom(f ) ´ Df .
o
o
√
√
Ejemplo 1.2 Consideremos la siguiente regla f (x) = x − 1. Sabemos que x es unn´emro real si x ≥ 0 por lo que es f´cil darse cuenta que el dominio de la f (x) ser´
u
a
a
Df = {x ∈ R : x − 1 ≥ 0} = [1, +∞)
Definici´n 1.3 (Rango) Al rango de una funci´n lo definimos de la siguiente manera
o
o
Rango(f ) = Rf = {y ∈ R : existe al menos un x ∈ Df tal que f (x) = y}.
Definici´n 1.4 (Gr´fico de una funci´n) El gr´fico de una funci´n es un conjunto definido
o
a
o
a
o
comosigue:
Graf (f ) = {(x, y) ∈ R2 : y = f (x) con x ∈ Df }.
Observaci´n 1.1 Una curva en el plano representa la gr´fica de una funci´n de R en R, si
o
a
o
cualquier recta paralela al eje y la corta en un s´lo punto.
o
1

2

Cap´
ıtulo 1. Unidad 2: Funciones Reales de una Variable Real

§ 1.1.1

Ejercicios

1. En el ejemplo 2.1, cuando la regla sea una funci´n determine su dominioy su rango.
o
2. ¿ Cu´l de las siguientes gr´ficas corresponden a funciones?, fundamente su respuesta.
a
a

§ 1.2

Funciones elementales

El manejo preciso y minucioso de las graficas de las funciones elementales es fundamental para el
trabajo a seguir de funciones. Es por esta raz´n que graficar en detalle cada una de las funciones
o
elmentales es el primer gran paso que debe tomar!§ 1.2.1

Ejercicios

1. Grafique en el plano cartesiano las siguientes funciones elementales.Analice cuidadosamente el dominio de cada funcion, halle una tabla de valores y los cortes con los ejes.
f (x) = ax + c , f (x) = x2 , f (x) =

√
√
1
x , f (x) = x3 , f (x) = 3 x , f (x) = , f (x) = |x|
x

f (x) = sin(x) , f (x) = cos(x) , ; f (x) = tg(x) , f (x) = ctg(x) , f (x) = ax , f (x) =loga (x),
2. Bosqueje la gr´fica de las siguientes funciones utilizando la informaci´n adquirida en el ejercicio
a
o
anterior y traslaciones en los ejes coordenados. Recuerde que siempre y = f (x).
1)

y = 2x − 1

y = −3x + 1

2y + x = 4

2y + x = 4

2)

y = (x + 1)2

y = (x − 2)2

y = (x + 1)2 + 1

y = (x − 2)2 − 3

3)

y = 2x2 + 4x + 18
√
f (x) = x + 1

y = −2x2 +4x + 18
√
f (x) = x − 3

y = 3x2 + 4x + 18
√
f (x) = 2x − 4

y = −3x2 + 4x + 18
√
f (x) = 3x + 9

y = (x + 1)3
√
f (x) = 3 x + 1

y = (x − 2)3
√
f (x) = 3 x − 3

y = (x + 1)3 + 1

y = (x − 2)3 − 3

f (x) = |x − 4| − 1

f (x) = |3x + 9| + 2

4)
5)
6)

3. En los ejercicios siguientes exprese la fracci´n de la forma y =
o
n´meros reales.
u
1)
2)
3)

1
x+1
1...