Funciones





INTRODUCCIÓ
L’objectiu de la següent pràctica és saber reconèixer els principals models de funcions i aplicar els coneixements generals de les funcions a aquests models per tal d’estudiar-ne les seves característiques. Per poder realitzar el següent treball ha estat necessari utilitzar el programa Geogebra (programa matemàtic).
Totes les funcions tenen les següents principalscaracterístiques; comunes i concretes de cadascuna d’elles:
Domini i recorregut: si f és una funció, el domini de f és el conjunt de tots els a per als quals existeix una b tal que (a,b) estan en f. Si a forma part del domini de f, de la definició de funció es segueix que existeix un únic b tal que (a,b) està en f. Aquest b únic és designat per f(a). També es diu que f(a) és la imatge de a. Del conjunt detots els nombre b per una funció f en diem recorregut.
Punts de tall amb els eixos: distingim dos tipus de punts de tall; els punts de tall amb l’eix de les y (recta vertical que te per equació x=0): qualsevol punt que està a sobre de l’eix de les y compleix que x=0. Així que, per calcular els punts de talls amb l’eix de les y, substituïm x per 0 i calculem les seves imatges; els punts obtingutstindran per forma (0,n).
Per altra banda també hi ha els punts de tall amb l’eix de les x (recta horitzontal que té per equació f(x)=0): qualsevol punt que està a sobre de l’eix de les x compleix que f(x)=0. Així que, per calcular els punts de talls amb l’eix de les x, substituïm f(x) per 0 i calculem les seves imatges; els punts obtinguts tindran per forma (n,0).
Creixement i decreixement:una funció f és estrictament creixent en un punt, x0, del seu domini si per tot X suficientment pròxim a x0 es compleix.
Si x > x0, llavors f(x) > f( x0)
Si x < x0, llavors f(x) < f( x0)
Una funció és estrictament decreixent en un punt, x0, del seu domini si per tot X suficientment pròxim a x0 es compleix.
Si x > x0, llavors f(x) < f( x0)
Si x < x0, llavors f(x) > f( x0)
Quan una funció fés estrictament creixent (decreixent) en tots els punts d’un interval l, es diu que la funció és estrictament creixent (decreixent) en l.
Màxims i mínims: diem que una funció f té un màxim relatiu (local) en x0, si per tot x suficientment pròxim a x0 es compleix f(X) ≤ f(x0).
Diem que una funció f té un mínim relatiu (local) en x0, si per tot x suficientment pròxim a x0 es compleix f(X) ≥f(x0).
Diem que una funció f té un màxim absolut en un interval l si hi ha un x0 del interval que compleix f(X) ≤ f(x0) per tot X del interval.
El nombre f (x0) rep el nom de valor màxim de f a l’interval l.
Diem que una funció f té un mínim absolut en un interval l si hi ha un x0 del interval que compleix f(X) ≥ f(x0) per tot X del interval.
El nombre f (x0) rep el nom de valor mínim de f al’interval l.
Concavitat i convexitat: diem que una funció f és còncava en l’interval l, si per tot x1 i x2 d’aquest interval, el segment rectilini que uneix (x1, f(x1)) amb ((x2, f(x2)) queda per sobre de la gràfica de f.
Diem que una funció f és còncava en l’interval l, si per tot x1 i x2 d’aquest interval, el segment rectilini que uneix (x1, f(x1)) amb ((x2, f(x2)) queda per sota de lagràfica de f.
Els punts on la punció passa de ser còncava a convexa (o de convexa a còncava) s’anomenen punts d’inflexió.
Asímptotes: les asímptotes són rectes a les quals s’acosta la funció, sense arribar mai a tocar-les (en alguns casos, sí pot arribar a creuar-les).
les asímptotes horitzontals són rectes horitzontals a les quals s’acosten algunes funcions quan X es fa molt gran (X cap a ∞),o quan x es fa molt petit ( X cap a -∞). Les asímptotes horitzontals d’una funció es calculen trobant el límit quan x tendeix cap a + ∞ i cap a -∞; si aquest límit és finit y=k, l’asímptota té per equació y=k.
Les asímptotes verticals són rectes verticals que la funció no pot tallar. A prop d’aquestes rectes la funció pren valors molt grans (f(x) cap a ∞)o molt petits (f(X) cap a -∞).les...