Funciones

FUNCIONES
REALES DE VARIABLE REAL   
 

 

Una de las grandes inquietudes de los seres humanos a través de la  historia ha sido la de describir los fenómenos naturales, sus cambios y  las relaciones que hay entre unos y otros.  Las funciones permiten describir el mundo real en términos  matemáticos, como por ejemplo las variaciones de la temperatura, el movimiento de los planetas, las ondas cerebrales, los ciclos comerciales,  el ritmo cardíaco, el crecimiento de población, etc.    Vamos a ver las funciones más usuales de aplicación en las distintas  ciencias y en la vida diaria, y sus características generales, tanto  analíticas como gráficas. Concretamente revisaremos las funciones  polinómicas y racionales, las funciones exponenciales y logarítmicas, y  las funciones periódicas.   La relación de dependencia existente entre las dos variables se  expresa mediante la notación:  y  f ( x) , donde la letra  f   representa todas las operaciones que han de realizarse con cada  valor de la variable independiente “x” para obtener el valor de la  variable dependiente “y”.   

Representación de una función real 
 Una función real, en general, puede ser representada de distintas  maneras:   Por medio de un conjunto de pares ordenados o tabla de  valores.   Mediante una expresión verbal, donde se describe una  regla con una descripción en palabras.    Empleando una expresión algebraica, con una fórmula  explícita.   Utilizando una gráfica, representada en un sistema de  coordenadas cartesiano   
Estas cuatro formas de representar una función son equivalentes, sin embargo no siempre es posible el paso de una a otra. Además, no todas  las tablas, reglas, ecuaciones o gráficas representan una función. 

Correspondencia entre conjuntos 
Siendo A y B conjuntos cualesquiera, se llama correspondencia de A  en B a todo criterio, regla o ley que asocia elementos de A con  elementos de B. Si el nombre del criterio es  f  para expresar que  f  es una correspondencia de A en B escribimos 

f : A  B   

 

De A se dice que es el conjunto inicial de  f  y de B se dice que es el  conjunto final de  f.    Nota: cuando hablamos de correspondencia no se impone ninguna  restricción al criterio  f, además en el  conjunto A puede haber elementos a los que f   no les asocia ningún elemento del conjunto B,  y también puede ocurrir que  f  asocie varios elementos de B a un mismo elemento de A.    Si  x  A , para referirnos al elemento del conjunto final B que la  correspondencia  f  asocia a “x”, usaremos la notación “f(x)” que es la  imagen de “x” según  f  y que se lee “f de x”.    Es decir, tras la notación  f(x)  hay 5 conceptos:  1) Un conjunto A  2) Un conjunto B  3) Un criterio o ley  f  que asocia elementos  de A con elementos de B  4) El elemento “x” del conjunto A 5) Un elemento del conjunto B concreto, el que la ley  f  asocia a “x” y  que se escribe  f(x)  (según indicó Euler en 1734)   

Gráfica de una función 
  Las gráficas permiten obtener una representación visual de una  función. Éstas nos aportan información que puede no ser tan  evidente a partir de descripciones verbales o algebraicas. Las gráficas son muy útiles para describir el comportamiento de  f(x) cuando x varía obteniendo información rápidamente de ellas.    La gráfica de una función  f  es el conjunto de todas las parejas   x, f ( x)  en un sistema de coordenadas rectangulares o  cartesianas, en el cual, la variable independiente “x” se  representa en el eje horizontal, y la variable dependiente “y” en  el eje vertical. La gráfica de f  coincide con la gráfica de la  ecuación  y  f (x) . La gráfica de  y  f ( x)  es el conjunto: 
Gr f    x, f ( x )  x  Dom f   

Algunos pasos a seguir para obtener un esbozo de la gráfica  de  y  f ( x) , por medio de la representación de puntos: 
   Determinar los puntos de intersección de y=f(x) con cada eje de  coordenadas.  Construir una tabla de valores de f. Escoger un grupo ...