Funciones















Alumno: Eduardo Valadez Sandoval.

Matricula: 123230068-9.

Grupo: 510.

PSP: Luis Vidaña.

Materia: Derivación de funciones.

Derivada de una función de grado n.
Una función de grado n, donde n es un exponente real, se representa por  y su derivada es  .
Algunos tipos de este tipo de funciones son: Función cuadrática, función cúbica, entre otras.
Porejemplo la función:

Lo primero es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique a la variable con respecto a la cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad formando uno nuevo, así:

Quedando finalmente:

Considérese la función 
Se tiene:

Derivada de una constante por una función.
Cuando una función esté representada por medio de  , su derivada equivalea  de la siguiente manera:
Consideremos la siguiente función: , lo primero a hacer es "bajar" al exponente a multiplicar por la variable y el coeficiente que la acompaña, y de nuevo se halla un nuevo exponente de la misma manera explicada anteriormente:

Para obtener

Cuando una constante acompaña a una variable cuyo exponente es 1 su derivada será el valor de la constante:

Entonces suderivada con respecto a esta variable será:

Puesto que 


Derivada de una suma.
Se puede demostrar a partir de la definición de derivada, que la derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas de cada una.
Es decir,  o .
Como ejemplo consideremos la función  , para determinar su derivada se trabaja la derivada de cada término aparte y la suma de ambos será la derivada de lafunción:

Derivada de un producto.
La derivada se expresa literalmente de la siguiente forma:
"La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar."
Y matemáticamente expresado por la relación.Consideremos la siguiente función como ejemplo:

Identificamos a  y, utilizando las reglas anteriormente expuestas, vemos que:
 y que 
Por lo tanto

Simplificando y organizando el producto obtenido nos queda:

Sumamos términos semejantes y finalmente obtenemos la derivada:

Si por ejemplo tenemos la derivada del producto de tres funciones que dependen de la misma variable, podemos pensar elproducto de dos de las funciones como si se tratara de una tercera función es decir  en donde  (sin importar que dos funciones escogemos).




Derivada de un cociente.
La derivada de un cociente se determina por la siguiente relación:

Para aquellos que se puedan confundir por algunas variables de más se puede escribir así:

Es decir:
"La derivada de un cociente de dos funciones es la funciónubicada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar, todo sobre la función del denominador al cuadrado".
Este caso se relaciona mucho con la regla de derivada de un producto, pero hay que tener en cuenta la resta y el orden de los factores. Pero ya explicando lo dicho anteriormente consideremos comoejemplo la siguiente función:

Ahora se trabaja el enunciado anterior el cual nos dice que multipliquemos el denominador que en este caso es  y se multiplique por la derivada del numerador que seria ; luego la segunda parte dice que tomemos la función del numerador () sin derivar y lo multipliquemos por la derivada de , que seria , todo esto lo dividimos entre el denominador al cuadrado, así:Ahora todo es cuestión de simplificar:

Regla de la cadena.
La regla de la cadena es una fórmula para calcular la derivada de la composición de dos o más funciones. Esto es, si f y g son dos funciones, entonces la regla de la cadena expresa la derivada de la función compuesta f ∘ g en términos de las derivadas de f y g. Por ejemplo, la regla de la cadena de f ∘ g (x) ≡ f [g (x)] es

o...