funciones

MATEMATICA I

Lic. Wilbert Colque Candia

TEORÍA DE FUNCIONES
Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se llama función de A
en B a cualquier relación que vincula a cada elemento x 
A, le corresponda un único elemento y  B, es decir:
Si f  AxB es una función de A en B, si y sólo si:
Si x  A, ! y  B / (x; y)  f
Notación:
f: A  B ó A  B
Se lee: f es una función de A en B.CONDICIÓN DE EXISTENCIA Y UNICIDAD
Sea la función: f : A  B
i. Si x  A,  y  B / (x; y)  f
ii. Si (x; y)  f  (x; z)  f  y = z
f
Ejm.

A
a
b
c

Regla de Correspondencia
Es la ecuación dada por:
y = f(x)
Que nos permite calcular la imagen de un elemento del
dominio.
f:AB
x  y = f(x)
Ejemplo: Dada la función f definida por el diagrama.
f

B
.m
.n
.p

Cumple la condiciónde existencia y unicidad.
 f = {(a; m), (b; n), (c; n)} es función.
g
Ejm.
A
B
1
.4
2
3

Sea la función: f: A  B entonces:
Dom (f)  A  Ran (f)  B

Nota:
 Toda función es una relación, lo recíproco no siempre es
cierto.
 En una función, 2 pares ordenados distintos no deben
tener la misma primera componente.

B

2

5

3

10

4
5

17
26

f(2) = 5 f(3) = 10f(4) = 17
f(5) = 26
Su regla de correspondencia está dada por:
y = f(x) = x2 + 1, donde x  A.
Ejemplo1: Indicar la función que representa al siguiente
gráfico:
B
A
2
6
10
12
18
20

1
2
3
4
5

.5
.6

No cumple la condición de unicidad.
 g = {(1;6), (2;4), (2;5), (3;6)} es una relación pero no es
una función.

A

a)
b)
c)
d)
e)

f = {(x, y)  A x B/y = x + 1}
f ={(x, y)  A x B/y2 = x2 + 3}
f = {(x, y)  A x B/y = 2x + 1}
f = {(x, y)  A x B/y = x2 + 2}
f = {(x, y)  A x B/y = x2 + x}

Ejemplo 2: Si f representa a una función dada por:
f = { (3; 7a + 2b); (2; 5); (2; a + 2); (3; 5b – 2a )}

Dominio de una Función

Diga cuál o cuales son funciones:

Está dado por el conjunto de todas las primeras componentes
de los pares ordenados de lafunción y se denota por Dom (f)
Dom (f) = {x  A / ! y  B / (x; y)  f }

I.

f1 = {(a, b) ;(b – a ; 5) ; ( 5; b – a ); (a + b; 5 )}

II.

f2 = {(3, b); (b; 3); (3; 8);( 9; 2a – b )}

Rango de la Función

a) II y III
d) I

Es el conjunto de todas las segundas componentes de los
pares ordenados que pertenecen a la función y se denota por
Ran (f)
Ran (f) = {y  B / x  A  (x; y)  f}
Ejemplo
Dada la función f = {(2; 3), (2; a), (3; 1), (7; 2)} Indicar:

III. f3 = {(3, 5) ; (9; 7);(b; a);(5a; 3b)}
b) III
e) II

c) I y III

Ejemplo 3: Dado el conjunto A = {1, 2, 3, 4,5}, se definen
las funciones:
f = {(1,4), (a, 2), (4,1), (3,2), (2,3)}
g = {(1, a), (3,3), (4,3), (5,5), (2,5), (1, a–c)}

Dom (f) =

Hallar 3a – 2c

Ran (f) =

a) 0

b) 15

c) 10 d) 20e) N.A

Nota:
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MATEMATICA I

Lic. Wilbert Colque Candia

FUNCIÓNES REALES DE VARIABLE REAL
Sea f: A  B, si A  ℝ  B  ℝ; diremos que f es una
función real de variable real y se denota por:
{(
) ℝ ℝ
( ) }
Gráfica De Una Función
Si es una función real de variable real, la gráfica de es
la representación geométrica de todos los pares ordenados
que pertenecen a .
( ){ (

)

ℝ

( )}

( )

ℝ

Nota

Sea : ℝ  ℝ, Si toda recta paralela al eje “y” corta
a la gráfica de en a lo más un punto, dicha gráfica será la
representación de una función.
y

y

Recta

Recta

g
x
x
No es una función

Dominio de una Función
( )

{

ℝ

(

ℝ

}

)

Rango de la Función
( )

{

ℝ

ℝ

(

)

1) Función inyectiva ounivalente:
Una función f: A  B, es inyectiva si a cada elemento
del rango le corresponde un único elemento del dominio.
f
1
2
3
4

1
2
3
4
f es inyectiva

 Función invectiva (1 – 1):
Si f ( x1 )  f ( x 2 )  x1  x 2 x1 , x 2  A
las segundas componentes no se repiten

g

Es una función

CLASES DE FUNCIONES

}

Ejemplo 4: Marcar verdadero o falso según convenga.
I. Toda...