Funciones

Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Facultad de Ciencias Económicas

Matemática para Economistas I
TEMA: Funciones
(Apuntes de clase)

Miguel Ataurima Arellano
mataurimaa@economia.unmsm.pe
miguel.ataurima@pucp.edu.pe
mataurimaa@uni.pe

17 de Mayo de 2010

1

Funciones, Dominio, Rango y Grá…ca

1.1

De…niciones

De…nición 1 Dados dos conjuntos no vacíos A y B, llamaremosfunción de A en B a toda relación
f
A B que cumple con la condición: "Para cada x 2 A existe un y solo un elemento y 2 B tal que
(x; y) 2 f "
Observaciones:
1. Cada elemento x de A debe ser la primera componente de a lo más un par ordenado de f .
2. No pueden haber dos pares ordenados diferentes con la misma primera componente.
3. Pueden existir varios pares ordenados con la misma segundacomponente.
4. No es necesario que todo elemento y 2 B sea la segunda componente de algún par ordenado
(x; y) 2 f .
5. Si un elemento y 2 B es la segunda componente de un par ordenado de f entonces el mismo
elemento puede ser la segunda componente de varios pares ordenados de la función f .
De…nición 2 Se llama aplicación de A en B a toda aquella función de A en B tal que todo elemento
x deA, sin excepción, tiene asignado un elemento y de B, y solamente uno. En tal caso, se denota
f

f : A ! B, o también A ! B
De…nición 3 Si (x; y) 2 f , función de A en B, a la segunda componente y se le denota y = f (x), se lee
f en x, ó f de x, y se dice que
1. y es la imagen de x vía la función f
2. x es la contra imagen (o antecedente) de y via f
3. x es la variable independiente(variable exógena o explicativa); y es la variable dependiente (variable
endógena o explicada).
De…nición 4 El dominio de una función f
de los elementos (pares ordenados) de f :

A

B es el conjunto de todas las primeras componentes

Dom f = f x 2 A : [ 9y 2 B : (x; y) 2 f ] g

A

De…nición 5 El rango o recorrido de f es el conjunto de todas las segundas componentes de los elementos
(paresordenados) de f ; es decir, es el conjunto de todas las imágenes f , y no siempre cubre a todo B
Ran f

= f y 2 B : [ 9x 2 A : y = f (x) ] g
= f f (x) 2 B : x 2 Dom f g B
1

B

De…nición 6 Dada una función f : A
imagen de S (vía f ) al conjunto

! B y un subconjunto S

A entonces se de…ne el conjunto

f (S) = ff (x) : x 2 Sg
que viene a ser el conjunto de imágenescorrespondientes a los elementos del conjunto S.
Según esta de…nición se tiene que Ran f = f (A) imagen de todo el dominio vía f.
1.1.1

Propiedades del conjunto imagen

Si M

A, N

A, f : A ! B entonces:

1. f (M [ N ) = f (M ) [ f (N )
2. f ( ) =
3. No siempre se cumple que f (M \ N ) = f (M ) \ f (N )
4. f (M ) =
De…nición 7 Una función está bien de…nida o determinada cuando se conoce su reglade correspondencia y su dominio.
Cuando de una función f se conoce su regla de correspondencia y = f (x) y no se conoce su dominio
Dom f , entonces se procede a calcularlo de modo que este conjunto sea el mayor posible; a este dominio
se le conoce como dominio maximal o dominio natural.
De…nición 8 Sea f una función A en B (f : A ! B). Si A
una función real de variable real.

1.2

RyBR, entonces decimos que f es

Grá…ca de una función

Si f es una función real de variable real, entonces la grá…ca de f o grafo de f es la representación
geométrica de los pares ordenados de la función; es decir
grafo(f ) = (x; y) 2 R2 : x 2 Dom f ^ y 2 Ran f
1.2.1

Propiedad de la grá…ca de una función

f es una función real de variable real si y solamente si toda recta vertical cortaa su grá…ca a lo más en
un punto.

2

Cálculo de Dominios y Rangos de Funciones

El dominio de una función se halla ubicando el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable
independiente x, excepto en el caso en que dicho dominio haya sido previamente indicado.
Observaciones:
1. Una manera geométrica de calcular el dominio y rango de una función, consiste en:
(a)...