Funciones

Funciones

Definición

Una función de A en B es una relación, en la que se asigna a cada uno de los elementos de A un único elemento de B.
Para determinar una función necesitamos el conjunto de partida (dominio), el conjunto de llegada (codo minio) y una relación (criterio).

Notación

Para denotar una función f con dominio A y codo minio B se escribe:
f: A B
f(X)=criterio
y se lee f de A en B tal que f de x es igual a …

Relación

Es una correspondencia que se establece entre dos conjuntos por medio de la cual a una o varios elementos del primer conjunto se le asignan o asocia uno o varios elementos del segundo conjunto.

Casos en los que una relación corresponde o no a una función
Para que una relación matemática se considere función debe cumplir:1) A cada pre imagen le corresponde una imagen (relación una a una)

Si es función

2) Una pre imagen no puede quedar sin asociársele una imagen (en el dominio no puede quedar ningún elemento sin asociar)

No es función

3) Una imagen si puede quedar sin asociarle una pre imagen ( en el codo minio si pueden quedar elementos sin asociar)


Si es función

4) Unapre imagen no puede tener más de una imagen.


No es función

5) Una imagen si puede tener más de una pre imagen.

Si es función

Dada una función f: A B se define:

* Conjunto A: se llama conjunto de partida o dominio. Se puede representar como Df.
* Conjunto B: se llama conjunto de llegada o codo minio.
* El criterio es la regla, formula o procedimiento querelaciona a los elementos de dos conjuntos y se denotan como f(x).
* Pre imágenes: son los elementos del conjunto de partida o dominio. Y corresponde al valor de la variable independiente del criterio de la función.
* Imagen: son los elementos del conjunto de llegada o codominio que están asociados a una pre imagen, mediante al criterio de función.
* Ámbito: también conocido comorango, es el conjunto formado por las imágenes. Se puede representar como Rf ó Af respectivamente.

Para ilustrar los conceptos anteriores utilizaremos un diagrama:

Graficas

Casos en los que una grafica corresponde o no a una función
Para que una grafica se considere función debe cumplir:
* Una pre imagen tenga solo una única imagen.

Grafica de una función

El eje de lasabscisas (eje X) representa los valores del dominio de la función.
El eje de las ordenadas (eje y) representa los valores del codominio y del ámbito de una función.

Los ejes de las coordenadas dividen el plano en cuatro partes llamados cuadrantes, que se numeran en sentido contrario al recorrido de las manecillas del reloj del I al IV.

Un par ordenado de números reales es un par de númerosen el que se especifica el orden, en este caso la distancia que existe entre ese punto y el eje vertical, es decir las abscisas y la distancia de ese mismo punto y el eje horizontal es decir la ordenada.
Un par ordenado en el plano cartesiano es (Abscisa, Ordenada), que es denotado como el par ordenado (x, y)

Dada la grafica de una función f : A B se llama grafico de la función alconjunto de pares ordenados (x, y) donde “x” esta en el dominio y “y” está en el codominio, edemas y=f(x).
Cuando representamos el grafico de una función en el plano cartesiano o eje de las coordenadas estaremos dibujando lo que se llama grafica de una función.
Para construir una grafica, debemos determinar primero el grafico de la función el cual obtenemos de lo que se conoce como tabla devalores.

Ejemplo:

Dibuje un bosquejo de la grafica determinada por
f:-2,4→R, tal que fx=x2

x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
f(x) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |

fx=-2,4,-1,1,0,0,1,1,2,4,3,9,4,16

Ejemplo:

Dibuje un bosquejo de la grafica determinada por
f:-4,4→R, tal que fx=x+3

X | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
f(x) | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |...