Funciones

Función
Una función es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X.  La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variableindependiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes.
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Definición de función real de una variable real
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Sean X y Y conjuntos de números reales. Una función real f de una variable real c de X a Y es una regla de correspondencia que asigna a cadanúmero x de X exactamente un número y de Y.
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El dominio de f es el conjunto X. El número y es la imagen de x por f y se denota mediante f(x), a lo cual se le llama el valor de f en x. El recorrido o rango de f se define como el subconjunto de Y formado por todas las imágenes de los números de X.
Las funciones puden especificarse en muchas formas:Ecuación en forma implícita
x2+2y=1
Define y, la variable dependiente, como función de x, la variable independiente. Para evaluar esta función resulta conveniente despejar y en el lado izquierdo de la ecuación.
Ecuación en forma explícita
y=12 (1-x2)
Utilizando f como nombre de la función, esta ecuación puede escribirse como:
Notación de funciones
f(x) = 12 (1-x2)
La ecuación originaldefine implícitamente a y como función de x. Cuando se despeja y, se obtiene la ecuación en forma explícita.
La notación de funciones tiene la ventaja de que permite identificar claramente la variable dependiente como f(x), informando al mismo tiempo que la variable independiente es x y que la función se denota por “f”. El símbolo f(x) se lee “f de x”. La notación de funciones permite ahorrarpalabras.

Definición de dominio y rango
Dominio
En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar.

Rango
Son todos los valores posibles de f(x) o sea de Y. Si tenemos f(X) = sen (X) El rangova de -1 a +1.
Si F(X) = una parábola cóncava en forma de U. El rango va del vértice dala parábola hacia arriba hasta + infinito.

Diferencia y semejanza entre dominio y rango
| DOMINIO | RANGO |
DIFERENCIA | Está formado por aquellos valores de x | Está formado por aquello valores de y |
SEMEJANZA | Son números reales Se requiere para representar una gráfica | Son números reales Serequiere para representar una gráfica |

Gráfica de una función
La gráfica de una función y = f(x) está formada por todos los puntos (x, f(x)), donde x pertenece al dominio de f.
Una recta vertical puede cortar la gráfica de una función de x como máximo una vez.
Una gráfica en el plano de coordenadas es la gráfica de una función x si y sólo si ninguna recta vertical hace intersección conella en más de un punto.

Función identidad
La función identidad es del tipo:
f(x) = x
Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Por tanto la recta forma con la parte positiva del eje de abscisas un ángulo de 45º y tiene de pendiente: m = 1.

Función cuadrática
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:
f(x) = ax2 + bx + cdonde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.
En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.
Así,
ax2 es el término cuadrático
bx es el término lineal
c es el término independiente
Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o...