Funciones

Funciones.
Una función es un conjunto de pares ordenados de números (x, y) en los que no existen dos pares ordenados diferentes con el mismo primer número.
En otras palabras, una función es una relación entre dos conjuntos, en donde a cada uno de los elementos del primer conjunto se le asignan uno y solo uno de los elementos del segundo (Ver Figura 1).
Figura 1. Ejemplo de Función

Se diceque hay una función de ‘A’ a ‘B’ ya que a cada elemento
de ‘A’ le corresponde un solo elemento de ‘B’.
Un elemento del primer conjunto solo debe tener asignado un elemento del segundo. Sin embargo, en algunos casos diferentes, elementos del primero pueden tener el mismo valor asignado en el segundo, tal como se observa en la Figura 2. Por lo tanto, si un elemento del primer conjunto tieneasignado más de un valor en el segundo ya no es función.
Figura 2.

A dos valores del conjunto ‘A’ les corresponde un solo valor de ‘B’.

Elementos de una función.
El conjunto de todos los valores admisibles de x se denomina dominio de la función, y el conjunto de todos los valores resultantes de y recibe el nombre de contradominio, rango o recorrido de la función (Ver Figura 3).
Figura 3.Dominio y Rango de una función

Los valores admisibles de x se denominan dominio de la función, y las imágenes
de f(x) reciben el nombre de codominio o rango.
Los símbolos x y y denotan variables. Debido a que el valor de y depende de la elección de x, x denota a la variable independiente mientras que y representa a la variable dependiente.
Más adelante se estudiarán los diversos tipos defunciones, así como sus respectivos dominios, rangos y gráficas.
Formas de representar una función.
Para facilitar el estudio de las funciones se han desarrollado varios métodos de representación. A continuación se explican algunos de estos:
1. Representación simbólica.
y=ƒ(x)

En donde ƒ(x) representa una expresión algebraica, racional, trigonométrica, etc., que contiene a la variable ‘x’ comodependiente, y ‘y’ es el resultado de ‘evaluar’ cierto valor ‘x’ en ‘ƒ’.
Así por ejemplo:
ƒ(x)=2x ƒ(x)=x2+1 ƒ(x)=x-x
ƒ(1)=2(1) ƒ(4)=(4)2+1 ƒ(-7)=(-7)-(-7)
ƒ(1)=2 ƒ(4)=17 ƒ(-7)=0
2. Tabla de valores.
Sea la función:
i) ƒ(x)=x2
x | -10 | 5 | 10 |
ƒ (x) | 100 | 25 | 100 |

ii) ƒ(x)=3x-5
X | 8 | 10 | 20 |
ƒ (x) | 19 | 25 | 55 |

3. Pares ordenados.

Puestoque una función es una regla que relaciona a cada elemento del dominio con un único elemento correspondiente en el rango, se puede ilustrar esto mediante parejas ordenadas en las que la primera componente está en ‘x’ (dominio) y la segunda es la imagen de la primera, es decir, pertenece a ‘y’ (contradominio).

Dada la función:

i) ƒ(x)=x2+x

X | y= x2+x | (x,y) |
3 | 12 | (3,12) |
4 | 20| (4,20) |
6 | 42 | (6,42) |

De tal manera que el conjunto de parejas ordenadas (x,y) es: (3,12)(4,20)(6,42)

ii) ƒ(x)=3x-5

X | y=3x-5 | (x,y) |
2 | 1 | (2,1) |
4 | 7 | (4,7) |
8 | 19 | (8,19) |

Parejas ordenadas: (2,1)(4,7)(8,19)

De esta forma se vé que efectivamente ‘y’ depende del valor ‘x’ que tome el Dominio.

Otra definición de función:

Una función es un conjuntode parejas ordenadas con la propiedad de que no hay dos parejas ordenadas cuyas primeras componentes sean iguales y las segundas sean diferentes.

4. Representación gráfica.
Se define la gráfica de una función ƒ como el conjunto de todos los puntos (x, ƒ(x)), en un plano de coordenadas rectangulares. Las gráficas de las funciones son de mucha utilidad para descubrir el comportamiento de lavariable dependiente cuando cambia la variable independiente.
Si se determina una función como ƒ(x)=x2-4, es posible representarla como un conjunto infinito de parejas ordenadas, entre las cuales estarían:
X | ƒ(x)=x2-4 | Pareja ordenada |
-3 | 5 | A(-3,-5) |
-2 | 0 | B(-2,0) |
-1 | -3 | C(-1,-3) |
0 | -4 | D(0,-4) |
1 | -3 | E(1,-3) |
2 | 0 | F(2,0) |
3 | 5 | G(3,5) |

Si...