Función Lineal

Función lineal
Introducción: Recordemos que una función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto de partida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de llegada, llamado Codominio, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el codominio.
Definición: Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyocodominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.
Definición f: R —> R / f(x) = a.x+b donde a y b son números reales, es una función lineal.
Este último renglón se lee: f de R en R tal que f de equis es igual a a.x+b
Por ejemplo, son funciones lineales f: f(x) = 2x+5 , g: g(x) = -3x+7, h: h(x) = 4
Definición: Las funcioneslineales son polinomios de primer grado. ver grafica ejes
Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada al exponente 1. Es habitual no escribir el exponente cuando este es 1.
Ejemplos de funciones lineales: a(x) = 2x+7 b(x) = -4x+3 f(x) = 2x + 5 + 7x - 3
De estas funciones, vemos que la f no está reducida y ordenada como las demás. Podemos reducirtérminos semejantes para que la expresión quede de una forma mas sencilla, f(x) = 9x + 2
Tambien recordemos que hemos convenido que cuando no establecemos en forma explicita el dominio y el codominio de una función, supondremos que es el mayor conjunto posible en cada caso.
Por ejemplo, si hablamos de la función f, de dominio real y codominio real, tal que f(x)= 2x-6, anotaremos f: R ——-> R /f(x) = 2x-6 Siendo el dominio todos los números reales, R, y el codominio también, todos los números reales, R.
Esto se lee " f de R en R tal que f de x es igual a 2x-6

Pendiente de una recta
 
Es el grado (medida) de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con respecto al cambio en x.
 
Si una recta pasa por dos puntos dintintos (x1, y1) y (x2, y2), entonces su pendiente(m) está dada por:
 

Esto es,

 
Ejemplo para discusión:  Dibuja la recta que pasa por los puntos dados y halla la pendiente para cada caso.
 
1)  (-3,4) y (6, -2)
2)  (-3, -4) y (3, 2)
3)  (-4, 2) y ( 3, 2)
4)  (2, 4) y (2, -3)
 
Con los ejemplos discutidos podemos observar la interpretación geométrica de la pendiente de una recta:
 
Pendiente | Tipo de recta |
positiva |recta ascendente |
negativa | recta descendente |
cero | recta horizontal |
no definida | recta vertical |
 
Ejercicio:  Halla la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos.
 
1)  (-3 , -3) y (2, -3)
2)  (0, 4) y (2, -4)
3)  (-2, -1) y (1, 2)
4)  (-3, 2) y (-3, -1)
 
Ecuaciones de la forma pendiente-intercepto
 
Ecuaciones de la forma y = mx + b donde m representa la pendientey b el intercepto en y se conocen como ecuaciones de la forma pendiente-intercepto. 
 
Por ejemplo,  la ecuación y = -3x + 5 está expresada de la forma pendiente-intercepto donde la pendiente (m) es -3  y el intercepto en y es (0, 5).
Nota:  Una ecuación de la forma  y = mx  representa una recta que pasa por el origen.
 
 
Ejemplo:  La pendiente (m) es -3  y el intercepto en y es (0, 4).  ¿Cuál esla ecuación de la recta de la forma pendiente-intercepto?
 
Ejercicio:  Escribe la ecuación de la recta de la forma pendiente-intercepto con pendiente 3  y el intercepto en y en (0, 5).
 
Ecuaciones lineales en dos variables de forma general
 
Definición: Una ecuación de la forma ax + by = c donde a, b y c son constantes con a diferente de cero, b diferente de cero, x, y variables se conocecomo una ecuación lineal en dos variables de forma general.
 
 Ejemplos:  2x + y = 4;  3x - 4y = 9.
 
Las ecuaciones y = -3x + 5  y  y = -2x  son ecuaciones lineales en dos variables pero no están expresadas de la forma general.  Lo podemos lograr cambiando de lugar los términos correspondientes.  De manera que:
 
y = -3x + 5  en la forma general es  3x + y = 5
y = -2x  en la forma...