Fundamentos matematicos

fundamentos matemáticos
en la arquitectura 1

Tema 1

Funciones reales de una variable real
1.1. Repaso de conceptos b´asicos.
1.2. Polinomios de Taylor.
1.3. Repaso del c´alculo integral.
1.4. Introducci´
on a la derivaci´
on e integraci´on num´erica.

1. Funciones reales de una variable real

fundamentos matemáticos
en la arquitectura 1

´ TEORICO
´
GUION
1.1.- Repaso deconceptos b´
asicos.
1.1.1.- Conceptos b´
asicos.
´ n 1.1.
Definicio
Llamamos funci´
on real de una variable real a una aplicaci´on
f : D ⊂ R −→ R
que a cada elemento x ∈ D le asocia un n´
umero real que denotaremos f (x).
´ n 1.2.
Definicio
Sea f : D ⊂ R −→ R una funci´
on.
Llamamos dominio de f , y lo denotamos Dom(f ), al conjunto D.
Llamamos dominio maximal de f al mayorsubconjunto de R en el que se pueda definir
la funci´
on f .
Llamamos imagen de un elemento x ∈ D al n´
umero real f (x).
Llamamos imagen de f , y la denotamos Im(f ) o f (D), al conjunto {f (x) / x ∈ D}, es
decir, Im(f ) es exactamente el conjunto formado por las im´agenes de todos los elementos
del dominio de f .

´ n 1.3.
Definicio
Dos funciones f y g son iguales si se verifican lassiguientes condiciones:
i) Sus dominios coinciden;
ii) f (x) = g(x) para todo elemento x del dominio.

1.1.2.- Funciones elementales.
3

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1. Funciones reales de una variable real

en la arquitectura 1

Funci´
on constante:
f : D ⊂ R −→ R
→

x

f (x) = k

A todo elemento x ∈ D se le asigna como imagen el valor real k. Es claro que el dominio
maximal de estetipo de funciones es R y que su imagen se reduce al conjunto {k}.

k

-2

-1

0

1

2

´ n constante
Fig. 1: Funcio

Funci´
on potencia de exponente b (b ∈ R):
f : D ⊂ R −→ R
→

x

f (x) = xb

El dominio maximal depende del valor de b, por ejemplo, para b = 2 obtenemos la funci´
on
f (x) = x2 , cuyo domonio maximal es R puesto que todo n´
umero real puede ser elevadoal
cuadrado. Para b = −1, obtenemos la funci´on f (x) = x−1 = x1 , cuyo dominio maximal es
R−{0}, ya que cero es el u
´nico n´
umero real que no tiene inverso. Para b = 21 , obtenemos la
√
1
funci´on f (x) = x 2 = x cuyo dominio maximal es [0, +∞). La funci´on potencia verifica
(xy)b = xb y b

para todos x, y ∈ R.

Obs´ervese que todas las funciones ra´ıces pertenecen a este u
´ltimogrupo ya que
para todo n ∈ N, n ≥ 2.

3
4
2.5
2

2
1.5

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5
1

-2
0.5
-4
2

´ fica de
Fig. 2: Gra

1
x

4

6

´ fica de
Fig. 3: Gra

4

8

√

x

√
n

1

x = xn

1. Funciones reales de una variable real

fundamentos matemáticos
en la arquitectura 1

Monomio:
f : D ⊂ R −→ R
x

,

f (x) = λxr

→

siendo λ∈ R − {0} y r ∈ N.

Al n´
umero r lo llamamos grado del monomio. Por ejemplo, f (x) = 3x2 es un monomio
de grado dos. El dominio maximal de cualquier monomio es R.
Funci´
on exponencial de base a (a ∈ R+ ):
f : D ⊂ R −→ R
f (x) = ax

→

x

El dominio maximal de esta funci´on es R. Dados x, y ∈ R se cumple
ax+y = ax ay

y

(ax )y = axy .

En el caso particular a = 1 lafunci´on exponencial de base a es la funci´
on constante 1.
En el caso a = e, hablamos simplemente de funci´
on exponencial .

20
15
10
5

-3

-2

-1

1

2

3

´ fica de ex
Fig. 4: Gra

Funci´
on logar´ıtmica de base a (a ∈ R+ − {1}):
f : D ⊂ R+ −→ R
x

→

f (x) = loga (x)

El dominio maximal es (0, +∞). La funci´on logar´ıtmica verifica las siguientes propiedades
paratodos x, y > 0 :
1. loga (xy) = loga x + loga y
2. loga (xy ) = y loga x
3. loga

x
y

= loga (x) − loga (y)
5

fundamentos matemáticos

1. Funciones reales de una variable real

en la arquitectura 1

En el caso a = e, hablamos simplemente de funci´
on logaritmo y la representamos por
log(x). La identidad
loga x =

logx
loga

para todo x > 0 y para todo a ∈ R+ − {1}...