Furier

Jean Baptiste Joseph Fourier (21 de marzo de 1768 en Auxerre - 16 de mayo de 1830 en París), matemático y físico francés conocido por sus trabajos sobre la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes llamadas Series de Fourier, método con el cual consiguió resolver la ecuación del calor. La transformada de Fourier recibe su nombre en su honor. Fue el primero endar una explicación científica al efecto invernadero en un tratado. Se le dedicó un asteroide que lleva su nombre y que fue descubierto en 1992.

Series de Fourier
Es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funcionesperiódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras).

La serie de Fourier de una función f definida en el intervalos (-p,p) es
fx=a0+n=1∞(ancosnπp x+bnsinnπpx
En el cual

an=1p-ppfxdx

an=1p-ppfxcosnπpxdx

bn=1p-ppfxsinnπpxdx

Desarrollefx=0 -π<x<0
π-x, 0≤x<π

En una serie de Fourier
Graficando vemos que con p=π tenemos según las ecuaciones
an=1p-ppfxcosnπpxdx an=1p-ppfxsinnπpxdx

a0=1π-ππfxdx=1π-π00dx+0ππ-xdx=1π(πx-x22)=π2

n=1π-ππfxcosnxdx=1π-π00dx+0ππ-xcosnx=π-xsinnxn+1n0π(π-x)sinnx dx
=-1nπcosnxn=1--1nn2π

Donde tenemos cosnx=-1n en forma semejante vemos que segúnbn=1p-ppfxsinnπpxdx

bn=1π0ππ-xsinnxdx=1n
Por consiguiente
fx=π2+n=1∞1-1nn2πcosnx+1nsinnx

Series de Fourier de cosenos y senos
Las operaciones para evaluar los coeficientes a0,anybn al desarrollar una función f en la forma de serie de Fourier se reducen mucho cuando f es una función par o impar
Par si f-x=f(x)
Impar si f-x=-f(x)
En un intervalo simétrico como por ejemplo (-p,p) la grafica deuna función par posee simetría con respecto al eje y mientras que la de una función impar posee simetría con respecto al origen

Propiedades de funciones pares e impares
* El producto de dos funciones pares es par
* El producto de dos funciones impares es par
*El producto de una función impar y una función par es impar
*La suma o diferencia de dos funciones pares es par
*La suma odiferencia de dos funciones impares es impar
*Si f es par -aafxdx=2/poafxdx
*Si f es impar fxdx=0
La serie de Fourier de una función par en el intervalo (-p,p) es la serie de cosenos

fx=a0+0∞ancosnπpx

ao=2p0pfxdx

an=2p0pfxcosnπpxdx

La serie de Fourier de una función impar es el intervalos (-p,p) es la serie de seno
fx=n=1∞bnsinnπpx
bn=2p0pfxsinnπpxdx


Desarrolle fx=x,-2<x<2 en una serie de Fourier

Solución desarrollaremos f como una serie de senos porque al graficarla advertimos que la función es impar en los intervalos (-2,2). Con la identificación 2p=4 tenemos p=2 así entonces la ecuación
bn=2p0pfxsinnπpxdx después de integrar por partes es

bn=02xsinnπpxdx=4-1n+1nπ
Por consiguiente fx=4πn=1∞-1n+1nsinnπ2xSerie de Fourier-bessel
La serie de Fourier-bessel de una función d definida en el intervalo (0 ,b) se expresa como sigue:
fx=n=1∞cijn(λix)
ci=2b2jn+12λib 0bxjnλixfxdx

En donde las λi se definen mediante jnλb=0
fx=i=0∞cijn(λix)

2λi2(λi2b2-n2+h2)jn2(λib)0bxjnλixfxdx
En donde las λise definen mediante hjnλb+λbjn'λb=0

fx=c1+i=2∞cij0(λix)
c1=2b20bxfxdx, ci=2b2j02(λ,b)0bxj0λixfxdx

En donde las λi se definen con j0'λib=0
Si f y f’ son continuas por tramos en el intervalo abierto (o,b) entonces el desarrollo de f en serie de Fourier-bessel converge hacia f(x) en cualquier punto donde f sea continua y haciel el promedio (f(x-)+f(x+)/2 en un punto donde f sea discontinua.

Ejemplo:

Desarrolle fx=x, 0<x<3 en una serie de fourier-bessel aplicando...