Física Cuántica Schrodinger

DEPARTAMENTO DE FÍSICA, FACULTAD DE CIENCIAS, UNIVERSIDAD DE TARAPACÁ

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Guía de Ejercicios
Física Contemporánea (FI-024) Ingenierías
Semestre de Primavera 2008
Dinámica relativista
1. La masa en reposo de un electrón es m0,e = 9.109 × 10−31 ( kg ) y la masa en reposo de un protón es

m0, p = 1.675 ×10−27 ( kg ) . Calcule su energía propia o en reposo, usando la expresión E0 = m0 c 2 ,
donde c = 3 × 108 ( m s ) . ¿Cuál es la energía total E de cada partícula, si estas partículas se mueven
con velocidad ve = 0.82c y v p = 0.97c respecto a un observador en el sistema κ ? A partir de los
resultados anteriores, calcule las energías cinéticas de cada partícula.

Solución:
Para el electrón, laenergía en reposo viene dada por

⎡
⎛ m2 ⎞ ⎤
E0 e = m0 e c 2 = ⎡9.109 × 10−31 ( kg ) ⎤ × ⎢9 × 1016 ⎜ 2 ⎟ ⎥
⎣
⎦
⎝ s ⎠⎦
⎣
E0 e = 8.198 × 10−14 ( J )

(1)

Para el protón, la energía en reposo viene dada por

⎡
⎛ m2 ⎞⎤
E0 p = m0 p c 2 = ⎡1.675 × 10−27 (kg ) ⎤ × ⎢9 × 1016 ⎜ 2 ⎟ ⎥
⎣
⎦
⎝ s ⎠⎦
⎣
−10
E0 p = 1.5075 × 10 ( J )

(2)

La energía total o de movimiento viene dada por laexpresión de Einstein
E = m (v ) c 2

(3)

donde la masa en movimiento m(v) viene dada en función de la masa propia o masa en reposo y en
función de su velocidad, en la forma

m (v ) =

m0
v2
1− 2
c

(4)

Dicha dependencia funcional se muestra en la siguiente figura.

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Dr. EdmundoLazo Núñez, Email: elazo@uta.cl; Fono:58-205 379; celular: 89553554, Web: http://cuya.faci.uta.cl/cursos/fisica3/

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2

Luego, la relación (3) queda

E = mc 2 =

m0 c 2
2

=

v
1− 2
c

E0
v2
1− 2
c

(5)

Por lo tanto, laenergía E , también depende de la velocidad de la partícula en la misma forma que la masa
(ver figura de más arriba).
Reemplazando los datos para cada partícula, se tiene
Para el electrón:

8.198 × 10−14 ( J )
= 1.43 × 10−13 ( J )
0.5723635209

(6)

1.5075 × 10−10 ( J )
= 6.201 × 10−10 ( J )
0.2431049156

(7)

Ee =
Para el protón:

Ep =

En Relatividad Especial, la energíacinética Ec sólo se puede definir de la siguiente manera:

Ec ≡ E − E0

(8)

Ec = mc 2 − m0 c 2 = ( m − m0 ) c 2

(9)

Por lo tanto, para obtener la energía cinética de cada partícula, sólo debemos restar los valores de la
energía total E y la energía en reposo E0 , correspondientes.
Para el electrón. Usando las relaciones (6) y (1), se tiene

Ece = 1.43 × 10−13 ( J ) − 8.198 × 10−14( J )
Ece = 6.125 × 10−14 ( J )

(10)

Para el protón. Usando las relaciones (7) y (2), se tiene,

Ecp = 6.201 × 10−10 ( J ) − 1.5075 × 10−10 ( J )
Ecp = 4.694 × 10−10 ( J )

(11)

2. ¿Cuál es la masa en movimiento de una partícula si su energía cinética es 2 veces su energía en
reposo?

Solución:
En relatividad, la energía cinética viene dada por

K = E − E0

(12)

El datoque nos dan es K = 2 E0 , por lo tanto reemplazando en (12), se tiene

K = E − E0 = 2 E0

(13)

De esta relación se obtiene

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E = 3E0

3

(14)

pero E = mc 2 y E0 = m0 c 2 , reemplazando en (14), tenemos

m = 3m0

(15)

3. Calcule la energía total, el momentum y la velocidad de una partícula para la cual se cumple que la
energía en reposo es igual a dos veces la energía cinética, es...