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ELIPSE






Una elipse es la curva que se obtiene interceptando un cono circular recto y un plano: Si el plano está inclinado y no es paralelo a una de sus generatrices y corta a una sola rama del cono, como se ve en la Figura 1.

La generatriz de una superficie cónica es una recta fija en uno de sus puntos con uno de sus extremos describiendo una circunferencia plana.

DEFINICIÓN.Por definición la elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, participantes de la propiedad relativa: que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Los dos puntos son conocidos como focos de la elipse, mientras que la constante será representada por 2a, como se ve en la Figura 2.






1. Ecuación de la elipse horizontal con centro enel origen.


Observando la Figura 2 se tiene:

La condición de movimiento del punto M(x, y), dada por la definición es:

M F1 + M F2 = Constante = 2 a ................................................................................... (1)

Aplicando la fórmula para determinar la distancia entre dos puntos, se tiene:

M F1 =
( x + c ) 2 + y 2
y M F2 =
( x - c ) 2 + y 2

De modoque al sustituir en (1) queda:

( x + c ) 2 + y 2 +
( x - c ) 2 + y 2
= 2 a

Despejando al segundo radical:

( x - c ) 2 + y 2
= 2 a -
( x + c ) 2 + y 2

Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad y desarrollando, tendremos:

x 2 - 2 c x + c 2 + y 2 = 4 a 2 - 4 a
Reduciendo:
(x + c ) 2 + y 2
+ x 2 + 2 c x + c 2 + y 2

4a (x  c)2  y 2
 4a 2  4cx


Dividiendoentre 4, se tiene:

a (x  c)2  y 2
 a2  cx




Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad y reduciendo:

a 2 x 2 + 2
a 2 c x + a 2
c 2 + a 2 y 2 = a 4 + 2 a 2 c x + c 2 x 2
a 2 x 2 - c 2 x 2 + a 2 y 2 = a 4 - a 2 c 2

Factorizando:

( a 2 - c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 ( a 2 - c 2 ).........................................................................(2)

Con el fin de transformar más todavía esta ecuación, recordemos que en todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos, lo que aplicado al triángulo F1MF2 de nuestra Figura 2, produce que:

M F1 + M F2 > F 1 F 2

Sustituyendo:

a + a
> 2 c

Por tanto:

2 a > 2 c

Dividiendo entre 2 y elevando al cuadrado:

a > c

a 2 > c 2

Rearreglando:

a 2 - c 2> 0

La última desigualdad nos dice, que la diferencia a2-c2, es constante y positiva, de tal manera que podemos representarla por b2, puesto que la letra b representa comúnmente una constante y el exponente 2 garantiza que es positiva, o sea:

a 2 - c 2 = b 2

Por lo tanto, la ecuación (2) de la elipse se transforma en:

b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2..................................................................................................(I)

Cuya ecuación también puede expresarse en la siguiente forma llamada simétrica o
normal, la cual se obtiene dividiendo ambos miembros entre a2b2:

2 2 2 2 2 2
b x + a y = a b
a 2 b 2
a 2 b 2
a 2 b 2



Simplificando:

x 2 y 2
+

= 1................................................................................................................. (I')
a 2 b 2

Análisis de la ecuación:

Previamente despejaremos las dos variables x, y de (I): Para la variable y tenemos
a 2 y 2 = a 2 b 2 - b 2 x 2 = b 2 ( a 2 - x 2 )
2
y 2 = b
a 2
( a 2 - x 2 )

Por tanto:


b y = 
a

a 2 - x 2.......................................................................................................(3)

De la misma forma:

Para la variable x se tiene:

b 2 x 2 = a 2 b 2 - a 2 y 2 = a 2 (b 2 - y 2)
2
x 2 = a
b 2
(b 2 - y 2)

Por tanto:


x =  a b

b 2 - y 2

.......................................................................................................(4)

Ahora procederemos a efectuar el análisis:

Primero La ecuación (3) permite ver que la...