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MATEMATICA DISCRETA. Ejercicios I

1. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Explique brevemente la
respuesta.
( a) ( ( ( ( f) {(} ( ( ( k) {a,b} ( {a,b, {a,b} }
( b) ( ( ( ( g) {(} ( {(} ( l) {a,b} ( {a,b, { { a,b } } }
( c) ( ( {(} ( h) {(} ( {(} ( n) {a, ( } ( {a, {a, ( } }
( d) ( ( {(} ( i) {a,b} ( {a,b,c, {a,b,c} } ( m) {a, (} ( {a,{a, ( }}
( e) {(} ( ( ( j) {a,b} ( {a,b,c, {a,b,c} }
Hay que tener en cuenta que todo conjunto tiene como subconjunto a si mismo y al vacio, y que un conjunto
A es subconjunto de otro B,si A aparece como elemento del conjunto potencia de B.

2. Determine cuales de las siguientes afirmaciones acerca de conjuntos arbitrarios A, B y C son verdaderas. Justifique la respuesta.

a) Si A ( B y B ( C, entonces A ( C
(, porque ( b ( B ( b ( C

b) Si A ( B y B ( C, entonces A ( C
A aparece como elemento en C, lo cual no garantiza que los elementos deA esten en C.
(, contraejemplo :
Sea A={a}, B={ {a}, b, c }. Vemos que A ( B.
Sea C={ {a}, b, c,d }, vemos que B ( C, pero {a}[pic]P(C), por lo que no se cumple A ( C

c) Si A ( B y B ( C, entonces A ( C
A no aparece como elemento, aunque sus elementos formen parte de un elemento de C.
(, contraejemplo :
Sea A={a}, B={a,b}, C={{a,b}}. Vemos que A ( C solo se cumpliria si C={...,{a},....,...}

d) Si A ( B y B ( C, entonces A ( C
Los elementos de A no aparecen en C, sino integrando un elemento de C.
(, contraejemplo :
Sea A={a}, B={a,b}, C={{a,b}} pero P(C)={ ( , {{a,b}} } , por lo que no se cumple A ( C

3. Sean (A(C)((B(C) y (A([pic])((B([pic]), demostrar que A(B.
Sabemosque C([pic]=U y A=A(U, asi que A=A((C([pic]), que desarrollado, = (A(C) ( (A([pic])
Y observando el enunciado : ((A(C)((A([pic])) ( ((B(C)((B([pic])) ( A ( B

4. ¿Que se puede decir de los conjuntos P y Q ?
a) P(Q = P ( P(Q ?
Dems. : Para cualquier x(P : P=(P(Q) ( x((P(Q) ( x(Q

b) P(Q = P ( Q(P ?
Dems. : Para cualquier x(P : P=(P(Q) ( x((P(Q) (x(Q

c) P(Q = P ( Q=( ?, es decir : (P(Q)–(P(Q)=P ( Q=( ?
Es erroneo suponer que Q=(, Dems. :
Si x ( Q : [pic]

d) P(Q = P(Q ( P=Q ?
Dems : Para ( x(P ( P(Q = P(Q, ( x(Q ( P=Q

5. a) Sean A(B y C(D. ¿Siempre sucede que (A(C) ( (B(D)?
Sí, [pic]

¿Siempre sucede que (A(C)((B(D)?
Sí, [pic]

b) Sean A(B y C(D. ¿Siempresucede que (A(C)((B(D)?
No. En a) demostramos que son subconjuntos, ahora refutaremos demostrando que son iguales.
Contraejemplo : A={1,2}, B=D={1,2,3}, C={2,3}, vemos que A(B y C(D, pero (A(C)=(B(D)

¿Siempre sucede que (A ( C) ( (B ( D)?
Contraejemplo : A={1,2}, B={1,2,3}, C={1,4}, D={1,4,5} vemos que A(B y C(D, pero (A(C)=(B(D).

6. a) Puesto que (A ( B)=(A ( C),¿es necesario que B=C?
No, contraejemplo : A={1,2,3}, B={3,4,6}, C={2,4,6}

b) Puesto que (A ( B)=(A ( C), ¿es necesario que B=C?
No, contraejemplo : A={1,2,3}, B={2,3,4}, C={2,3,5}

c) Puesto que (A ( B)=(A ( C), ¿es necesario que B=C?
A (B=(A ( B)–(A ( B), A (C=(A ( C)–(A ( C)
Para[pic]
Para[pic]

7. Sean A,B,C conjuntos arbitrarios.
a) Demostrar(A–B)–C=A–(B ( C)
A–B= A ( [pic]
(A–B)–C ( (A([pic])–C ( (A([pic])([pic]( A(([pic]([pic]) ( A([pic] ( A–(B(C)

b) Demostrar (A–B)–C=(A–C)–B
(A–B)–C ( (A([pic])([pic] ( (A([pic]) ([pic]( (A–C)–B

c) Demostrar (A–B)–C=(A–C)–(B – C)
A–(B ( C) = A–(C ( (B–C)) ( A–(B ( C) ( A–(C ( B)
[pic]
Como son iguales, se verifica la demostración.

8. Sean...