Gata

Ejercicios Probabilidad Condicional, Probabilidad Total y teorema de Bayes

1.Tenemos dos bolsas de caramelos, la primera contiene 15 caramelos de naranja y 10 de limón y la segunda 20 de naranja y 25 de limón. Elegimos una de las bolsas al azar y extraemos un caramelo. Calcular:
a)       La probabilidad de que el caramelo sea de naranja.
b)       Si el caramelo elegido es delimón, ¿cuál es la probabilidad de que lo hayamos extraído de la segunda bolsa?

Solución: Llamando: B1 la primera bolsa
B2 la segunda bolsa
N caramelo de naranja
L caramelo de limón
El árbol del problema es,
[pic]
|a |P(N) = P(B1) P(N/B1)+P(B2)P(N/B2)= |[pic] |
| || |
| |[pic] |
| | |
|b ||

2.En un grupo de 2º de bachillerato el 15% estudia Matemáticas, el 30% estudia Economía y el 10% ambas materias. Se pide:
a)                  ¿Son independientes los sucesos Estudiar Matemáticas y Estudiar Economía?
b)                  Si se escoge unestudiante del grupo al azar, calcular la probabilidad de que no estudie ni Matemáticas ni Economía.

Solución: Consideramos los siguientes sucesos:
M = estudiar Matemáticas
E = estudiar Economía
Por el enunciado conocemos que P ( M ) = 0’15, P ( E ) = 0’30 y P ( M [pic] E ) = 0’10
|El diagrama de los sucesos sería: |[pic]|

a) Para comprobar si los sucesos M y E son independientes veamos si se cumple que P ( M / E ) = P ( M ) y P ( E / M ) = P ( E )
[pic]
Por lo tanto los sucesos M y E no son independientes.

|b) No estudiar ni Matemáticas ni Economía es el suceso |[pic] |(por las leyes de Morgan) |

[pic]

3. La probabilidad deque haya un incidente en una fábrica que dispone de alarma es 0´1. La probabilidad de que suene ésta si se ha producido algún incidente es 0´97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0´02.
a)       Calcula la probabilidad de que no suene la alarma.
b)       En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habidoningún incidente?

Solución: Utilizamos los sucesos: I = hay incidente y A = suena la alarma
El árbol del problema será,
[pic]

a) Probabilidad de que no suene la alarma [pic]

b) En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?
[pic]

4.En un club deportivo, el 52% de los socios son hombres.Entre los socios, el 35% de los hombres practica la natación, así como el 60% de las mujeres.
Si elegimos un socio al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que practique la natación?
b) Sabiendo que practica la natación, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer?

Solución: Hacemos un diagrama en árbol:

[pic]
 
a) P[Natación] = 0,182 ++ 0,288 = 0,47

[pic]

5.En un colegiose va a hacer una excursión a una estación de esquí con tres autobuses: uno grande, uno mediano y uno pequeño. La cuarta parte de los alumnos apuntados a la excursión irá en el autobús pequeño, la tercera parte en el mediano y el resto en el grande. Saben esquiar el 80% de los alumnos que viajarán en el autobús pequeño, el 60% de los que irán en el mediano y el 40% de los del autobús grande....