Gauss-Jordan

UNIDAD 1. ¿Cómo resolver Situaciones reales por medio de las matrices?

Notas. Método de Eliminación de Gauss-Jordan

El método de Gauss-Jordan tiene varias aplicaciones. En el álgebra matricial se utiliza, por ejemplo, para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones simultáneas de primer grado y también para determinar la matriz inversa de una matriz. En estas notas ilustraremos ambasaplicaciones, pero primero explicaremos el método de Gauss-Jordan; para comprenderlo, es necesario que consideremos los siguientes dos puntos: 1. Todo sistema de ecuaciones se puede escribir en notación matricial de la siguiente manera: Si el sistema a resolver es del tipo:
a 11 x 1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2 ... ... ... a n1 x 1 + a n2 x 2 + ... +a nn x n = b n ...

entonces, en notación de matrices:

⎛ a 11 ⎜ ⎜ a 21 ⎜ : ⎜ ⎝ a n1

a 12 a 22 : a n2

... ... ... ...

a 1n ⎞ ⎟ a 2n ⎟ : ⎟ ⎟ a nn ⎠

⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ b2 ⎟ ⎜ : ⎟ ⎜ : ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ xn ⎠ ⎝ bn ⎠

o bien: A X = B Donde la matriz A se suele llamar matriz de coeficientes, X matriz de incógnitas y B matriz de términos libres. Con estas matrices se puedeconstruir una más que se llama matriz aumentada, que no es más que la unión de la matriz de coeficientes con la matriz de términos libres. Es decir:

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( A ⎪ B)
⎛ a 11 ⎜ ⎜ a 21 ⎜ : ⎜ ⎝ a n1

= Matriz Aumentada
a 12 a 22 : a n2 ... a 1n b 1 ⎞ ⎟ ... a 2n b 2 ⎟ : : : ⎟ ⎟ ... a nn b n ⎠

Por ejemplo,si tenemos el sistema:
3x + 4y + 7z = 27 - 8x + 6y - z = 32 7x - 4y + 3z = - 17

En términos de matrices puede rescribirse como:

⎛ 3 ⎜ ⎜ –8 ⎜ 7 ⎝

4 6 –4

7⎞ ⎟ –1⎟ 3⎟ ⎠

⎛x⎞ ⎛ 27 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ = ⎜ 32 ⎟ ⎜z⎟ ⎜ –17 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Lo cual puede comprobarse llevando a cabo la multiplicación de matrices. Obsérvese que en este caso la matriz aumentada es igual a:
⎛ 3 ⎜ ⎜ −8 ⎜ 7 ⎝ 4 6 −4 727 ⎞ ⎟ − 1 32 ⎟ 3 −17 ⎟ ⎠

2. El segundo aspecto a considerar es que un sistema de ecuaciones puede escribirse de muchas maneras. Todas ellas son equivalentes porque tienen la misma solución. Por ejemplo: − − − − Las ecuaciones pueden escribirse en diferente orden y eso no altera al sistema a resolver ni modifica su solución. Una de las ecuaciones puede multiplicarse por una constante en amboslados de la igualdad y el sistema sigue teniendo la misma solución. A una ecuación se le puede sumar o restar la misma cantidad en ambos miembros de la igualdad y la solución del sistema es la misma. En particular, la cantidad que se suma a una ecuación puede ser otra ecuación y la solución no se altera.

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−

Cualquiera que haya sido la operación realizada, los sistemas de ecuaciones, el original y el final son equivalentes, lo mismo que sus matrices aumentadas correspondientes. Ya que en la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones, los renglones son ecuaciones y las operaciones anteriores se hacen sobre las ecuaciones, entonces se conocen como operaciones elementales de renglones.La idea de usar operaciones elementales de renglones es que, al realizarlas, podamos construir un sistema de ecuaciones equivalente al original que sea más fácil de resolver. El método de Gauss-Jordán va incluso más allá, pues no sólo obtiene un sistema equivalente sencillo, sino que, además, deja a las incógnitas despejadas. Es decir, si nos dan el sistema de ecuaciones con la matriz aumentada:a11x + a12 y + a13 z = b1 a21x + a22 y + a23 z = b2 a31x + a32 y + a33 z = b3 → ⎛ a11 a12 ⎜ ⎜ a21 a22 ⎜a ⎝ 31 a32 a13 a23 a33 b1 ⎞ ⎟ b2 ⎟ b3 ⎟ ⎠

Podemos construir el sistema de ecuaciones equivalentes y la matriz aumentada equivalente que tenga la siguiente estructura:

1x + 0 y + 0 z = c1 0 x +1y + 0 z = c 2 0 x + 0 y +1z = c3 → ⎛1 0 0 ⎜ ⎜0 1 0 ⎜0 0 1 ⎝ c1 ⎞ ⎟ c2 ⎟ c3 ⎟ ⎠

En esta...