Gauss Jordan

I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ¿PARA QUE?En esta sección se presentan cuatro problemas cuya solución requiere del planteamiento deun sistema de ecuaciones lineales.Problema 1.Una compañía minera extrae mineral de dos minas, el cual contiene para la mina I el 1% deníquel y 2% de cobre, para la mina II el 2% de níquel y 5% de cobre. ¿Qué cantidad demineral se deberá extraer de cada mina paraobtener 4 toneladas de níquel y 9 toneladas decobre?Solución:¿Cuál es el problema? ¿Qué se busca?Queremos saber el número de toneladas de mineral que hay que extraer de cada mina,asignemos literales a esos números.Sean
x
el número de toneladas que se extrae de la mina I.
y
el número de toneladas que se extrae de la mina II.Establezcamos ahora relaciones algebraicas entre las literales.¿Cuántose obtiene de níquel de la mina I? 0.
x
01.¿Y de la mina II?0luego:
y
02.0402.001.
=+
y x
Análogamente para el cobre tenemos:0905.002.
=+
y x
Así, para saber cuantas toneladas hay que extraer de cada mina debemos resolver el sistemade dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:905.002.0 402.001.0
=+=+
y x y x
Problema 2.Luis y Víctor son dos amigos que invierten en accionesbursátiles, entre ellos se entabla elsiguiente dialogo:Víctor- He comprado acciones de alfa, peñoles y vitro.Luis- ¿Qué cantidad tienes de cada una de ellas?
4

Víctor- ¡adivina!Luis- Dime el valor total de tus acciones en tres días diferentes y te diré cuantas tienes decada una.Victor- El martes 21 de noviembre del 2000 a precio de cierre las acciones valían 138900,el 28 de noviembre valían131220 y el 5 de diciembre 121280 pesos.Luis conoce la siguiente información:El 21 de noviembre el precio de alfa, peñoles y vitro era respectivamente 16.98, 9.0, 9.0; el28 de noviembre 15.90, 8.72, 8.52 y el 5 de diciembre 14.08, 8.20, 8.76.¿Qué cantidad de acciones tiene Víctor?Solución:¿Cuál es el problema? El número de acciones que tiene Víctor de cada tipo.Asignemos literales, sean:
A
lacantidad de acciones que tiene de alfa.
P
la cantidad de acciones que tiene de peñoles.
V
la cantidad de acciones que tiene de vitro.Establezcamos relaciones algebraicas entre las literales.El martes 21 de noviembre las acciones de alfa que adquirió Víctor valían 16.98
A
, las de peñoles valían 9
P
, las de vitro valían 9
V
y todas juntas valían $138900 por lo tanto:161389009998.=++
V P A
Análogamente para el 28 de noviembre se tiene:1513122052.872.890.
=++
V P A
Y el 5 de diciembre:1412128076.820.808.
=++
V P A
Luis sabrá el número de acciones que tiene Víctor sí resuelve el sistema de tres ecuacionescon tres incógnitas:1512128076.820.808.14 13122052.872.890. 1389009998.16
=++=++=++
V P AV P AV P A

5

Problema 3.En una fabrica de ropa seproducen tres estilos de camisas que llamaremos 1, 2, 3. Cada prenda pasa por el proceso de cortado, cosido, planchado y empaquetado. Las camisas seelaboran por lote. Para producir un lote de camisas del tipo 1 se necesitan 30 min paracortarlas, 40 min para coserlas y 50 min para plancharlas y empaquetarlas. Para el tipo 2,50 min para cortar, 50 min para coser y 50 min para planchar y empaquetar.Para el tipo 3,65 min para cortar, 40 min para coser y 15 min para planchar y empaquetar. ¿Cuántos lotesse pueden producir si se trabajan 8 horas en cortar, 8 horas en coser y 8 horas en planchar yempaquetar?Solución.Queremos saber cuantos lotes de cada tipo de camisa se pueden producir, asignemosliterales.Sea
x
el número de lotes de camisas del tipo 1 que se pueden producir.Sea
y
el número delotes de camisas del tipo 2 que se pueden producir.Sea
z
el número de lotes de camisas del tipo 3 que se pueden producir.Establezcamos relaciones algebraicas entre las variables.El número de minutos que se emplean en cortar una camisa del tipo 1 es 30
x
, del tipo 2 es50
y
, y del tipo 3 es 65
z
.El número total de minutos que se emplea en cortar todas las camisas es:30
z y x...